哈密顿力学概述||理论力学
// 笔者最近在物理学基础理论的学习上好像遇到了一个瓶颈。
// 越往后学，好像越容易接触到一些高度抽象的概念，光有高数线代数理方法搞不定，例如酉空间辛空间，群论，奇奇怪怪的流形...
// 其实，一个普普通通不搞纯理论的物理人，对这些东西好像也不需要掌握太多...但是我就是想搞清楚一些。
// 就比如这个理论力学，往简单了说会套公式就能应付了期末考，往难了说什么辛几何，相空间的余切丛，三维特殊正交群之类奇奇怪怪的概念都来了...
//总之，这些笔记笔者不想简单应付，而想加入自己的理解。最近各种专栏笔记都会更得比较慢，笔者需要等待一个突破...
0 Introduction
理论力学主要内容分为刚体力学、拉格朗日力学和哈密顿力学。
其中，拉格朗日力学最早引入了广义坐标的概念，用纯代数的方法处理了约束的影响，并给出拉格朗日方程：
其中，（动能与势能之差）是系统的拉格朗日量。
拉格朗日力学的优势在于它能完美解决约束带来的影响。笔者曾经借助拉格朗日方程完成混沌摆的建模和模拟，这也是笔者在计算机基础课程中的大作业内容。
而哈密顿力学中则将广义动量和广义坐标一样作为独立变量，构建出哈密顿正则方程，给出动量、坐标、哈密顿量的关系。哈密顿力学在本质上和拉格朗日力学和牛顿力学都是等价的，但其数学形式在其他领域得到广泛的应用，其意义是超越经典力学本身的。（当你看到在哈密顿力学中坐标与动量在数学形式上的对称关系，或许会想到量子力学...）
1 哈密顿正则方程
已知某个经典力学系统有拉格朗日量L，我们定义广义动量为：
然后，代入拉格朗日方程，不难得到
接下来，我们定义系统的哈密顿量：
注意，虽然上式右边显含 ，但 H 的最终表达式是 p,q 的函数，也就是说最终
应当用 p,q 表示。接下来研究哈密顿量的微分：
而拉格朗日量的微分
联立两式，注意到 项被消去，得
上式正是以 p,q,t 为独立变量得到的H的全微分，由此我们得到哈密顿正则方程：
此外，如果考虑 H 对时间的微分，
把前面的正则方程代入，恰好消去后两项，可得
由此看出，如果哈密顿量不显含时间，则它是守恒量。事实上，哈密顿量就是系统的广义能量，它不显含时间意味着系统受到稳定约束，约束反力不做功。
哈密顿正则方程的数学结构很有意思。可以看到，仅从数学上看坐标与动量的地位是高度对称的，这也意味着从数学的角度我们并不能区分坐标与动量。
2 哈密顿原理
哈密顿原理，也被称作最小作用量原理。费曼教授在他的三部物理学讲义中鲜有提及分析力学的内容，但唯独用了一章专门介绍了这个最小作用量原理——这显然是一个让过去年轻的他感到相当印象深刻的理论。
作用量的定义是系统的拉格朗日量对某段时间的积分：
哈密顿原理表示其变分为0：
通过展开 S 的变分可以推回拉格朗日方程，笔者在本文集前面的笔记提过了。
此外，作用量存在另一种包含广义动量的形式。前面的文章里面我们以及操作过一次变分了，
当时，我们令 而推出第二项为0. 而这一次我们选择把 t2 看作任意时间，看第一项易得
又，根据定义，
由此联系又可以推出哈密顿-雅可比方程
此外，联系哈密顿量和作用量的定义，可以得到另一种形式的作用量
3 泊松括号
泊松括号似乎是某种数学结构。设存在广义坐标、动量、时间的函数，它对时间的微分：
把正则方程代入，并把求和里面的东西定义为泊松括号：
则可以得到
据说，量子力学里面常常遇到的对易子，起源和这个泊松括号有些关系。
泊松定理是说，如果已知系统的两个积分
则
也是系统的一个积分。（虽然，到目前为止笔者未能看到这有什么用）
4 正则变换
正则变换本质上是一种坐标变换。不过变换的不再是空间坐标，而是广义坐标和广义动量。
我们希望将本来的广义坐标与动量 q,p 变换为一组新的坐标 Q,P:
同时希望这个变换下正则方程保持不变：
前文写过包含广义动量的作用量表达式，所以系统满足
同理对于变换后，
两个变分相等，意味着它们的被积函数应当仅相差一个系统状态决定的任意函数的全微分dF. (因为这一项积分得到的是 F(末态)-F(初态)，它的变分为0.)
这里 F 称为生成函数，或母函数。移项不难得到 F 的全微分，从而得到：
这里如果母函数恰好是 q,Q 的函数，上面就已经是正则变换的表达式了。
母函数还可能是：F(q, P, t), F(Q, p, t), F(p, P, t) (一定是一个新变量和一个旧变量的函数)
以 F(q,P,t) 为例，只需构造
接下来类似分部积分的原理，可以得到
正则变换后的坐标与动量已经变成抽象的概念，仅仅保留了原先的数学结构。
//这篇笔记暂时到此为止。理论力学到后面越发高深，当前有待更深入的理解。
//后面可能会讨论的内容：如何寻找母函数；正则变换的应用；哈密顿力学中的辛结构等
