解方程：√((x²+3)²+44x²)/(16x−√((x²+3)²+12x²))=1

题一、
解方程：√((x²+3)²+44x²)/(16x−√((x²+3)²+12x²))=1

分析题目
分析题目，分式嵌套根式方程，次数较高，如何破题，仔细分析发现分子分母的根式下面的项次一致，只是单独的x方系数有差异，那我们可以分子分母同除以x，然后将这个x拉到根式下面去，不就直接抵消掉系数不一样的x方了，可直接化零为整整体换元了，

据此分析，我们来解题，

首先考虑到分子是非负的，那分母也要是非负的，所以，x也必须是非负的，且考虑当x=0时，方程不成立，所以，最终得到，x大于0，此时我们分子分母同时除以x，得到，

√((x²+3/x)²+44)/(16−√((x²+3/x)²+12))=1,

这就一目了然了，直接换元就简单多了，即引入参数p和q，设定，p=√((x²+3/x)²+44)，q=√((x²+3/x)²+12)，

则代入到上述方程中转换得到，

p/16−q=1 ，然后p和q同时平方相减就可以抵消掉x项次，即得到，p²−q²=44−12=32，

第一个方程，去分母移项得到，p+q=16，第二个方程平方差因式分解得到，(p+q)(p−q)=32，显然第一个方程代入到第二个方程就可以得到p-q=2，则就得到了简单的二元一次方程，很容易解得，p=9，q=7， 则带回参数设定方程中p的方程，即得到，

9=√((x²+3/x)²+44)，结合之前确定的，x大于0，则很容易得到，x²+3/x=√37，

整理成关于x的一元二次方程的一般形式，即得到，

x²−√37x+3=0，则解得，x=x=(√37±5)/2。

参考答案