关于明日方舟抽卡概率的计算

前言：虽然本文发表得有点晚，但是由于明日方舟的抽卡机制总体上保持不变，所以本文的结论对所有卡池都成立，可以作为今后大家抽卡的参考。

另外，UP本人也曾向其他人咨询过这个问题，我听到的所有回答都是在大量模拟实验的基础上给出的，没有纯理论上的推导。本文将尝试从纯理论的角度出发，来得到与模拟实验相一致的结果。如果有错误之处，还请大家斧正。

Part  0    研究的问题

本文的目的是算出来我总共抽x次，最后得到某个六星（比如W）的概率。

Part  1    抽卡规则

这一部分在游戏里写得很清楚，我不多赘述，直接放图：

Part  2   分析

这是最关键的部分，决定了我们是否可以得到正确的结果。

首先，我们可以想到，在每次抽卡前，计数器总会记录一个数，我们称这个数为a。由于Part1中介绍的抽卡机制，我们不难发现，当0<=a<50时，抽到六星的概率一直是2%；当a>=50时，抽到六星的概率是[2*(a-48)]%，那么当a=98时，抽到六星的概率为100%，抽卡后计数器必然归零，所以a的取值有一个范围，即0<=a<=98。

其次，对于每一次抽卡，a的值有且只有一个。那么，对于每一次抽卡，如果a的取值我们无法确定，那么我们可以假设某个值a_0出现的概率为p(a_0)。显然，p(0)+p(1)+···+p(98)=1。对于某个a值，我们抽到非六星的概率p(a)*P(a)为：

p(a)*0.98   {0<=a<50}

p(a)*[0.98-(a-49)*0.02]    {50<=a<=98}

这样一来，在某次抽卡时a不确定的情况下，我们得到了抽到非六星的概率，同时确定了抽到六星的概率。

接着，我们引进一个新记号：p(x,a)。它的含义为：当我在一个池子里抽第x次时，计数器记录的数为a的概率。

那么让我们来想一下这种情况：如果a不等于零，这意味着什么？显然，对于某个确定的a，这意味着在前a次抽卡中，我一直抽到非六星。那么我们知道：p(x,a)=p(x-1,a-1)*P(a)=···=p(x-a,0)*P(a)*···*P(1)。其中从P(a)到P(1)的值我们已经可以确切地知道。

如果a=0，又会怎样呢？显然，这意味着我在前一次抽卡中抽到了六星（也有可能是我一次都没抽过，这是特殊情况），使得计数器归零了。那么就有：p(x,0)=sigma(0<=i<=98)[p(x-1,i)*(1-P(i))]。其中sigma是累加符号。

最后回到我们在Part0中提出的问题。假设我们抽了x次后得到目标六星的概率是m，那么抽不到的概率就是(1-m)。假设目标六星的出率占所有六星出率的k%，那么记我们抽了x次抽不到目标六星的概率为m(x)，计数器记录的数为a的概率为p_(x,a)。

根据上面的分析，我们很容易得到：

m(x)=sigma(0<=i<=98)[p_(x,a)]

p_(x,a)=p_(x-a,0)*P(a)*···*P(1)      （a不等于0）

p_(x,0)=sigma(0<=i<=98)[p(x-1,i)*(1-P(i))*(1-k%)]    （这里乘上(1-k%)是为了区分其余六星）

再加上一些限制条件和初始条件：

p_(x,a)=0   (x<=a)

p_(1,0)=1

然后按照这个思路写出程序，就可以算出具体概率。

Part  3   一些数据

为了对比结果，我挑出一些数据，供大家检查。（以抽出W为例

x=10,m=0.0678

x=50,m=0.2962

x=100,m=0.6290

x=150,m=0.7955

x=200,m=0.8859

x=250,m=0.9361

x=300,m=0.9642

如有谬误，欢迎在评论区中指正！