柯斯特利金 代数A1 每一个真分式都可以唯一表成最简分式之和的细节补充 P175定理3

刚看到这里时有很多困惑，现在想清楚了，帮助同样有困惑的朋友。

首先，步骤一，二，三都用到了首一多项式，这是因为在步骤二中需要这样的一个结论来保证分解的唯一性：即每个首一多项式都能被唯一的分解为首一多项式的乘积，证明如下：

先证明它的存在性：

记这个首一多项式为f，条件中这个多项式环在域P上，所以它是唯一因子分解环，固对f有形如up1p2...pn的分解，u为可逆元，p1...pn为素多项式。

如果p1....pn都首一，则u=1，因为它们的乘积f首一。若p1....pn中有不首一的素多项式，设为g1,设g1的首系数为x1，因为x1的逆和x1相乘为1，所以可以将x1的逆与g1结合使之首系数为1，将x1与u结合(确保等式仍然成立)，对所有不首一的素元都这样做，我们就得到了一组首一的素元分解wq1q2.....qn，其中q1q2....qn都首一，而它们的乘积f也首一，固w只能为1。

再证明它的唯一性:

如果还有另一组首一的素元分解p11p22...pnn，适当排序，可以使得p11=u1p1,p22=u2p2。u1，u2是可逆元。（这是唯一因子分解环的定义）因为pii和pi都首一，固ui的选取只能是1，否则首系数就不为1了，所以这种分解是唯一的。

于是，步骤一，二，三就分别确保了最简分式分解的唯一性。

接着书上的证明给出了以下结论（以下符号不再继承上面证明代表的含义）：分母g首一的真分式可唯一地表示成p为首一多项式的最简分式之和，需要注意到这个结论还没有推广到它们的等价分式【】和【】上。

接下来来说明这个结论和“任何真分式【】可唯一表示成最简分式【】之和”是等价的。

定理一：设是g首一的真分式，那么在【】也就是     ，a属于域P    中只存在唯一的分母首一的等价分式，即本身（ag必须首一，g首一，固a=1）。

情况一：若存在另外一组分母p全为首一的最简分式，它们的和等于，则a=1，（因为之和的分母首一,用定理一）固它就是   ,g首一  的唯一最简分式分解。

情况二：若存在一组分母p不全为首一的最简分式分解，设其中一个分母p不首一的最简分式为，p的首项系数为x,则它的一个等价分式是一个分母首一的最简分式。我们对所有分母p不首一的最简分式都这样做，最后会得到分母p都是全首一的最简分式之和，它们相加起来等于,根据定理一，有a=1，固我们得到了   ,g首一  的唯一最简分式分解，根据我们的构造方法，这组分母p不全为首一的最简分式就是这个唯一分解的最简分式的等价分式，（相反地，对应的分子分母各乘上x的n次方即可）这样就完成了证明。