I.11:齐曲线(抛物线)的基本研究

{"ops":[{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b1.sanwen.net/b_article/46feb02d34227cd53eeb1d1011d70e1fed75a787.jpg","width":1253,"height":1134,"size":755897,"status":"loaded"}}},{"insert":"设:有一顶点为A的圆锥，圆BC为其底面圆，过其轴的平面截得轴三角形ABC(I.3证明)，同时有另一个平面，该平面与底面交线为BC，与圆锥面的交线为截线DFE，F为截线的顶点，G为DE与BC交点，连接FG易得FG为此圆锥截线的直径(I.7 and 定义4证明)。\n当前情况下，有FG∥AC，过点F作FH⊥FG并使得\nBC²/BA·AC=FH/FA成立\n又设K是此截线上的某个不与F重合的点，过K作KL∥DE，且KL∩FG=L\n\n\n我们首先证明 KL²=HF·FL\n首先因为MN∥BC，KL∥DE，而MN和KL∈面MKN，且BC，DE∈面BDC，容易证明面MKN∥面BDC，而因为面BDC是圆锥底面，所以容易得到面MKN截圆锥得得到的图形便是以MN为直径的圆\n\n在圆MKN内，因为有KL⊥MN，MN为直径，所以可以得到KL²=ML·LN\n这是因为如过连接MK，KN，根据勾股定理有\nMK²+KN²=MN²=(ML+NL)²=ML²+2KL²+LN²\n所以ML·NL=KL²\n\n继承上面的结论，又因为已经使得BC²/BA·AC=HF/FA，且BC²/BA·AC=BC/CA comp. BC/BA\ntips: a/b comp. c/d表示的是两个比的复比，就是说a/b comp. c/d = ac/bd，这里之所以用复比是因为要用到下面这个结论:\n设a，b，c是三个比例，其中a，b两个是结果相等的比例\n有a comp. c = b comp. c(容易证明不多赘述)\n\n因为BC²/BA·AC=HF/FA，所以代入后有HF/FA= BC/CA comp. BC/BA\n同时，又因为易证△MLF∽△BCA\n所以有BC/CA=ML/FL\n同理根据相似还有BC/BA=MN/MA，又因为易证△MLF∽△MNA，有MN/MA=ML/MF\n=(MN-ML)/(MA-MF)=NL/FA\n将BC/CA=ML/FL，BC/BA=NL/FA代入上面的BC/CA comp. BC/BA，得到BC²/BA·AC=HF/FA=ML/FL comp. NL/FA=ML·NL/FL·FA\n整理，即得HF/FA=ML·NL/FL·FA\n\n这时再根据恒等式和比例式的性质，写出\nHF/FA=HF·FL/FA·FL\n代入上面的式子，有HF·FL/FA·FL=ML·NL/FL·FA\n化简得到HF·FL=ML·NL\n但又因为我们已从圆中推出KL²=ML·NL\n所以HF·FL=KL²\n令KL，FL，HF分别等于y，x，p\n最终推出y²=px\n\n阿波罗尼斯就将满足上述关系的截线称为齐曲线，其中常量p叫做竖直边，x，y分别叫做横线和竖线\n"}]}