第二章 随机变量及其概率分布

第一节 离散型随机变量

一、随机变量的概念

定义：设随机试验的样本空间S={e},X=X(\omega)是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X=X(e)为随机变量

不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系

二、离散型随机变量及其分布律

随机变量的分类：离散型，连续型

离散型随机变量的定义：随机变量所取得可能值是有限多个或无限可列个，则该随机变量叫做离散型随机变量。如观察掷一个骰子出现的点数，随机变量X的可能值是：1，2，3，4，5，6

离散型随机变量的分布律：

设离散型随机变量X所有可能取的值及相应的概率为

$$
P(X=x_k)=P_k,k=1,2,...
$$

称此为离散型随机变量X的分布律

说明：由概率的定义，P_k满足如下两个条件：

• P_K\geq 0,k-1,2,...

• \sum \limits _{k=1}^ \infty P_k=1

表示方法：

1. 列表法

2. 公式法

三、0-1分布与二项分布

1. 两点分布（0-1分布）

   随机变量X只可能取0和1两个值，其概率函数为：

   $$
   P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1
   $$

   
   

   或

   $$
   \begin{array}{c|lcr}    X & \text0 & \text1 &  \\    \hline   P_k& 1-P & P \\ \end{array}
   $$

   
   

2. 二项分布

   随机变量X的所有可能值为0,1,2,...,n，其概率函数为：

   $$
   P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k-0,1,2,...,n
   $$

   
   

   则称X服从参数为n,p的二项分布，记作

   $$
   X\backsim B(n,p)
   $$

   
   

   当n=1时，P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1，X化为0-1分布

四、泊松分布

泊松分布：设随机变量X所有可能取的值为0,1,2...，取各个值的概率为

$$
P(X=k)=\frac {\lambda^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2...
$$

其中\lambda >0是常数，则称X服从参数为\lambda的泊松分布，记为X\backsim \pi(\lambda)

第二节 随机变量的分布函数

一、分布函数的概念

定义：设X是随机变量，x是任意实数，函数

$$
F(x)=P(X\leq x)
$$

称为随机变量X的概率分布函数或分布函数。

当X为离散型随机变量时，设X的分布律为

$$
p_k=P(X=k),k=0,1,2,...
$$

由于{X \leq x}= \mathop{\cup}\limits_{x_k \leq x}{\{X_1=x_k\}}，由概率性质知，

$$
F(x)=P(X\leq x)= \mathop{\sum}\limits_{x_k \leq x}P{\{X=x_k\}},F(x)=\mathop\sum\limits_{X_k \leq x}{P_k}
$$

其中，求和是对所有满足x_k \leq x时x_k相应的概率P_k求和

二、分布函数的性质

分布函数的性质

• 0\leq F(x) \leq 1

• F(x)非减，即若x_1 \leq x_2，则F(x_1 \leq x_2)

• F(-\infty)=\lim_\limits{x \to-\infty}F(x)=0,F(+\infty)=\lim_\limits{x \to +\infty}F(X)=1

• F(x)右连续，即\lim \limits_{x \to x_0^+}F(x)=F(x_0)

第三节 连续性随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量及其概率密度

定义：设随机变量X的分布函数为F(X)，如果存在实数轴上的一个非负函数f(x)，使得对任意实数x，有

$$
F(X)=\int_{-\infty}^xf(t)dt
$$

则称X为连续随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数，或密度

显然F'(X)=f(x)

密度函数的性质

1. f(x) \geq 0

2. \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1

   注：连续型随机变量在单点处的概率为零：P\{X=c\}=0

   证明：0 \leq P{\{X=c}\} \leq P\{{c-\Delta <X\leq c}\}=\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \int_{c- \Delta{x}} ^{x}f(x)dx=0

   \therefore P(X=c)=0

3. P{a<X<b}=P{a<X\leq b} = \int_a^bf(x)dx

二、均匀分布与指数分布

1. 均匀分布：若X的概率密度为

   $$
   f(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a}, & \text a \leq x \leq b \\ 0, & \text 其它 \end{cases}
   $$

   
   

   则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作X~U(a,b)

   它的实际背景是：X取值在区间[a,b]上，并且取值在[a,b]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比

   则X具有[a,b]上的均匀分布

   分布函数

   $$
   f(x)=\begin{cases} 0,& \text  x <a \\ \frac {x-a}{b-a}, & \text a \leq x \leq b \\ 1,&\text x\geq b \end{cases}
   $$

   
   

   均匀分布常见于下列情形：

   如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差

   公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等

2. 指数分布

   若随机变量X具有概率密度

   $$
   f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},& \text  x > 0 \\ 0, & \text 其它 \\ \end{cases}
   $$

   
   

   其中\lambda > 0为常数，则称X服从参数为\lambda的指数分布

   记作：X  \backsim E(\lambda)

   其分布函数为：F(x)=P\{X \leq x\}=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x},& \text  x > 0 \\ 0, & \text 其它 \\ \end{cases}

   指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命

三、正态分布

正态分布：设随机变量X具有一下概率密度

$$
f(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}},-\infty<x<+\infty,\sigma>0
$$

分布函数F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{- \frac {(t- \mu)^2}{2\sigma^2}}dt,-\infty<x<\infty

则称X服从一\mu,\sigma^2为参数的正态分布。记作X \backsim N(\mu,\sigma^2)

\mu,\sigma=1的正态分布称为标准正态分布。记为X\backsim N(0,1)

其密度函数和分布函数常用\varphi(x)和\Phi(x)表示：

$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<\infty \\ \Phi (x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt,- \infty<x<\infty
$$

\Phi(x)的性质：

1. \Phi(0)=\frac{1}{2}

2. \forall x\in R, \Phi(-x)=1- \Phi(x)

若X\backsim N(\mu,\sigma^2)，则Z=\frac {X-\mu}{\sigma} \backsim N(0,1).

X\backsim N(\mu,\sigma^2)

\Rightarrow F_x(x)=P\{X \leq x\}=P{\{\frac {X- \mu}{\sigma}} \leq \frac{x- \mu}{\sigma}\}

=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})

第四节 随机变量函数的概率分布

一、离散型随机变量函数的概率分布

一般，若离散型随机变量X的概率分布为：

$$
\begin{array}{c|lcr}    X & \text x_1 & \text x_2 & \text ...  & \text x_k & \text ...\\    \hline    P_k & P_1 & P_2 & ... & P_k & ... \end{array}
$$

则Y=g(x)的概率分布为：

$$
\begin{array}{c|lcr}    Y=g(X) & \text g(x_1) & \text g(x_2) & \text ...  & \text g(x_k) & \text ...\\    \hline    P_k & P_1 & P_2 & ... & P_k & ... \end{array}
$$

如果g(X_k)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可

二、连续型随机变量函数的概率分布

问题：已知X的概率密度f_x(x)，求随机变量函数Y=g(X)的概率密度f_Y(y)

一般方法

1. 求Y 的分布函数F_Y(y)

   $$
   F_Y(y) \underrightarrow{根据分布函数的定义} P(Y \leq y)=P(g(X) \leq y)\\ =P(X \in \{x \mid g(x)\leq y \})
   $$

   
   

2. 对F_Y(y)求导，得到f_Y(y)：f_Y(y)=F_Y^y(y)

定理：设随机变量X具有概率密度f_x(x),- \infty < x < \infty，又设函数g(x)处处可导，且有g^\prime(x) > 0（或恒有g^\prime (x)<0

则Y=g(X)是一个连续型随机变量Y，其概率密度为

$$
f_y(y)= \begin{cases}            f_x[h(y)]|[h\prime(y)|,  & \text\ \alpha < \beta \\            0, & \text 其它 \\        \end{cases}
$$

其中h(y)是g(x)的反函数

即x=g\prime (y)=h(y)