A-3-4碰撞

2023-08-31 13:49 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.4.1 碰撞

上一讲我们介绍了柯尼希定理，那么两球的总动能可以这么表示

$E_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_c%5Cvec%20v_c%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_1%5Cvec%20v_%7B1c%7D%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_2%5Cvec%20v_%7B2c%7D%5E2$

其中

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v_c%3D%5Cdfrac%7Bm_1%5Cvec%20v_1%2Bm_2%5Cvec%20v_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%5C%5C%20%5Cvec%20v_%7B1c%7D%3D%5Cvec%20v_1-%5Cvec%20v_c%5C%5C%20%5Cvec%20v_%7B2c%7D%3D%5Cvec%20v_2-%5Cvec%20v_c%20%5Cend%7Bcases%7D$

代入得

$E_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_c%5Cvec%20v_c%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7Bm_1m_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D(%5Cvec%20v_1-%5Cvec%20v_2)%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_c%5Cvec%20v_c%5E2%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu%20%5Cvec%20v_r%5E2$

其中 $%5Cmu%3D%5Cdfrac%7Bm_1m_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D$ 称为约化质量， $%5Cvec%20v_r%3D%5Cvec%20v_1-%5Cvec%20v_2$ 为相对速度。

也就是说在碰撞前后，影响总动能的只有相对速度，设碰撞后相对速度 $%5Cvec%20v_r'$ .定义恢复系数e，等于碰后碰前的速度大小之比

$e%3D%5Cdfrac%7Bv_r'%7D%7Bv_r%7D$

这样就可以用恢复系数来表示碰撞之后的动能。

例1.如图所示，质量均为m的物块、木箱置于光滑水平面上，初态箱子静止，木块以 $v_0$ 向右运动，忽略所有摩擦，碰撞恢复系数 $e%3D%5Csqrt%5B4%5D%7B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ ，

（1）若要求动能损失不超过40%，最多碰几次？（2）上述时间中箱子平均速度为多少？

解：（1）每碰撞一次，物块与木箱的相对速度变为原来的e倍，初始相对速度为 $v_0$ ，故碰撞n次之后的动能为

$E_%7Bkn%7D%3DE_k%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_c%5Cvec%20v_c%5E2%20%2B%5Cdfrac%7Bm%7D%7B4%7D%20(e%5Env_0)%5E2$
动能损失

$%5CDelta%20E_k%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7B4%7D(1-e%5E%7B2n%7D)v_0%5E2$
动能损失百分比 $%5Ceta$ 满足

$%5Ceta%3D%5Cdfrac%7B1-e%5E%7B2n%7D%7D%7B2%7D%3C40%5C%25$
解得

$n%5Cle4$
最多碰4次。

（2）由于水平面光滑，物块与木箱水平动量守恒，整体质心速度不变。

在碰第4次时，物块相对木箱回到原来位置。也就是相对质心，箱子和物块的总位移均为0，物块与木箱的平均速度均等于质心的速度。故

$%5Cbar%20v%3Dv_c%3D%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7B2%7D$
需要注意的是，在上述过程中，如果木块与箱子的碰撞次数为奇数次，则没有以上结论。

在碰撞中，由于碰撞后动能不增加，e不大于1.

当e=0时，碰后相对速度为0，机械能损失最大，称为完全非弹性碰撞。

当e=1时，碰后相对速度大小不变，机械能不损失，称为完全弹性碰撞。

当e在0、1之间时，碰后相对速度大小改变，机械能损失，为一般弹性碰撞。

我们可以写出碰撞前后满足的方程，

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20m_1v_1%2Bm_2v_2%3Dm_1v_1'%2Bm_2v_2'%5C%5C%20v_2'-v_1'%3De(v_1-v_2)%20%5Cend%7Bcases%7D$

解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_1'%3D%5Cdfrac%7Bm_1v_1%2Bm_2v_2-em_2(v_1-v_2)%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%5C%5C%20v_2'%3D%5Cdfrac%7Bm_1v_1%2Bm_2v_2-em_1(v_2-v_1)%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

当e=1，弹性碰撞时，可以化简为

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_1'%3D%5Cdfrac%7B(m_1-m_2)v_1%2B2m_2v_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%5C%5C%20v_2'%3D%5Cdfrac%7B(m_2-m_1)v_2%2B2m_1v_1%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

当然，对于弹性碰撞，我们在考试中一般还是列动量守恒和机械能守恒关系。

例2.有三个完全弹性的小球，质量分别为 $m_1%E3%80%81m_2%E5%92%8Cm_3$ ，依次静止在一直线上，今于第一球上加 $v_1$ 的速度，沿此直线指向2运动。设 $m_1%E3%80%81m_3%E5%92%8Cv_1$ 为已知，求第二球的质量应为何值，才能使第三球第一次碰后所得的速度最大？

解：1和2碰撞，由动量守恒和机械能守恒

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20m_1v_1%2Bm_2v_2%3Dm_1v_1'%2Bm_2v_2'%5C%5C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_1v_1%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_2v_2%5E2%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_1v_1'%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_2v_2'%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$
得

$v_2'%3D%5Cdfrac%7B2m_1%7D%7Bm_1%2Bm_2%7Dv_1$
同理得2与3碰后

$v_3'%3D%5Cdfrac%7B2m_2%7D%7Bm_2%2Bm_3%7Dv_2'%20%3D%5Cdfrac%7B4m_1m_2v_1%7D%7B(m_2%2Bm_3)(m_1%2Bm_2)%7D$
化简得

$v_3'%3D%5Cdfrac%7B4m_1v_1%7D%7Bm_2%2B%5Cdfrac%7Bm_1m_3%7D%7Bm_2%7D%2B(m_1%2Bm_3)%7D$
故当 $m_2%3D%5Csqrt%7Bm_1m_3%7D$ 时，第三球碰后速度最大。

3.4.2 多次碰撞

有时候问题中涉及的碰撞不止一两次，比较多，我们此时需要处理数列。

例3.将质量为m的许多小球用轻质柔软无弹性绳串联起来，盘放于桌面上，相邻两球间连线长均为L.今将第一颗球以初速度 $v_0$ 竖直上抛。问第一颗球最高上升多高？

解：无弹性绳，说明碰撞为完全非弹性碰撞。定义第n次碰撞前后速度分别为 $v_n%E3%80%81v_n'$ .用能量分析，当第一颗球第n次碰撞后，动能小于上升L高度所增加的重力势能，不发生下一次碰撞。即

$v_n'%5E2%3C2gL%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A0$
一共碰撞n次。我们可以算出

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_1%5E2%3Dv_0%5E2-2gL%5C%5C%20v_1'%5E2%3D(%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2m%7Dv_1)%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D(v_0%5E2-2gL)%5C%5C%20v_2%5E2%3Dv_1%5E2-2gL%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D(v_0%5E2-2gL)-2gL%5C%5C%20v_2'%5E2%3D(%5Cdfrac%7B2m%7D%7B3m%7Dv_2)%5E2%20%3D%5Cdfrac%7B2%5E2%7D%7B3%5E2%7D%5B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D(v_0%5E2-2gL)-2gL%5D%20%5Cend%7Bcases%7D$
化简得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_1'%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7Dv_0%5E2-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5E2%7D(2gL)%5C%5C%20v_2'%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%5E2%7Dv_0%5E2-(%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%5E2%7D%2B%5Cdfrac%7B2%5E2%7D%7B3%5E2%7D)(2gL)%20%5Cend%7Bcases%7D$
可以推得

$v_n'%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B(n%2B1)%5E2%7Dv_0%5E2-%5Cdfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Eni%5E2%7D%7B(n%2B1)%5E2%7D2gL%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B(n%2B1)%5E2%7Dv_0%5E2-%5Cdfrac%7Bn(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7B6(n%2B1)%5E2%7D2gL$
代入①得，

$3v_0%5E2%3C(n%2B1)(n%2B2)(2n%2B3)gL%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A1$
故总高度

$H%3D%5Cdfrac%7Bn(4n%2B5)%7D%7B6(n%2B1)%7DL%2B%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7B2(n%2B1)%5E2g%7D$
其中n满足②式

有些更复杂的数列，我们不一定能找到规律，此时可以选用数列递推的方法。

例4.在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全相同的质量为m的长方形木块，编号为木块1、木块2…………在木块1之前放一质量为M=4m的大木块，间距也为l.现以一恒力作用在大木块上，与小木块发生完全非弹性碰撞。问与第几个小木块碰撞之前一瞬间，整体速度最大？

解：与上一题相同，假设第n次碰前速度为 $v_n$ ，第n次碰后速度为 $v_n'$ ，上一题中 $v_n$ 是由从前往后的递推规律得到的，这一题我们尝试从后向前递推，我们研究第i次碰撞及碰后的过程，由动量守恒和动能定理，得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5BM%2B(i-1)m%5Dv_i%3D(M%2Bim)v_i'%5C%5C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(M%2Bim)v_i'%5E2%2BFl%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(M%2Bim)v_%7Bi%2B1%7D%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$

故

$%5BM-m%2B(i%2B1)m%5D%5E2v_%7Bi%2B1%7D%5E2%3D%5BM-m%2Bim%5D%5E2v_i%5E2%2B2Fl(M%2Bim)$

我们可以定义第0次碰撞， $v_0%3Dv_0'%3D0$ ，满足上面式子。由数列递推，可得

$%5BM%2B(n-1)m%5D%5E2v_n%5E2%3D2Fl%5Csum%5En_%7Bi%3D1%7D%5BM%2B(i-1)m%5D$

（也可以累加得，如下

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5BM-m%2Bnm%5D%5E2v_%7Bn%7D%5E2%3D%5BM-m%2B(n-1)m%5D%5E2v_%7Bn-1%7D%5E2%2B2Fl%5BM%2B(n-1)m%5D%5C%5C%20%5BM-m%2B(n-1)m%5D%5E2v_%7Bn-1%7D%5E2%3D%5BM-m%2B(n-2)m%5D%5E2v_%7Bn-2%7D%5E2%2B2Fl%5BM%2B(n-2)m%5D%5C%5C%20%5Ccdots%20%5C%5C%20%5BM-m%2Bm%5D%5E2v_%7B1%7D%5E2%3D%5BM-m%5D%5E2v_0%5E2%2B2Fl%5BM%5D%20%5Cend%7Bcases%7D$

）

化简为

$v_n%5E2%3D%5Cdfrac%7B2Fl%5BnM%2B%5Cdfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7Dm%5D%7D%7B%5BM%2B(n-1)m%5D%5E2%7D$

代入M=4m，

$v_n%5E2%3D%5Cdfrac%7BFl(n%5E2%2B7n)%7D%7Bm(n%2B3)%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7BFl%7D%7Bm%7D%5B1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%20%7B(n-9)%2B%5Cdfrac%7B9%5Ccdot%2016%7D%7Bn-9%7D%2B24%7D%5D$

当 $n-9%3D%5Cdfrac%7B9%5Ccdot%2016%7D%7Bn-9%7D$ 时，整体速度最大，对应n=21。

上面最后一步求最值也可以由导数为0直接得到。

3.4.3 二维碰撞

上面我们研究的都是一维情况下的碰撞，二维情景的问题，我们利用力和动量的矢量性，再辅以能量关系即可解决。

例5.质量为M、倾角为 $%5Calpha%3D30%5Eo$ 的劈放在石板的光滑水平面上（如图），劈紧贴在板面上。质量为m的球水平飞过来并与劈的光滑斜面碰撞（碰撞是弹性的），结果劈开始沿板运动。求球与劈的质量比，它能满足：经过某一时间球落到劈上这点正是它从劈上弹起点。

解：由于斜面光滑，斜面切向对球无摩擦，而碰撞时间足够短，不考虑重力冲量，故小球所受切向冲量为0，切向速度不变。假设小球碰前速度为 $v_1$ ，碰后速度为 $v_2$ ，分别分解如下图。

则有

$v_1%5Ccos30%5Eo%3Dv_%7B2x%7D%5Ccos30%5Eo%2Bv_%7B2y%7D%5Csin30%5Eo%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A0$
假设劈碰后速度为 $v_3$ ，方向水平向右，由于劈上的落点等于上弹起点，故碰后球的水平速度和劈相同，有

$v_%7B2x%7D%3Dv_3%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A1$
又整个碰撞过程机械能守恒，水平动量守恒，有

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_1%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm(v_%7B2x%7D%5E2%2Bv_%7B2y%7D%5E2)%20%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7DMv_3%5E2%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A2%5C%5C%20mv_1%3Dmv_%7B2x%7D%2BMv_3%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A3%20%5Cend%7Bcases%7D$
联立①②④得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_3%3Dv_%7B2x%7D%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7BM%2Bm%7Dv_1%5C%5C%20v_%7B2y%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt3M%7D%7BM%2Bm%7Dv_1%20%5Cend%7Bcases%7D$
代入③得

$%5Cdfrac%7Bm%7D%7BM%7D%3D2$
需要注意的是，本题中劈在与小球碰撞的同时，还会与地面碰撞，故不能简单的认为，相对斜劈，小球的轨迹满足反射定律。

但是，通过计算可知，碰前球与劈的法向相对速度

$v_r%3Dv_1%5Csin30%5Eo%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7B2%7D$
碰后球与劈的相对速度

$v_r'%3Dv_%7B2y%7D%5Ccos30%5Eo%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt3v_1%7D%7B3%7D%5Cdfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7D$
易得二者相等，即球与劈法向相对速度大小不变。这个结论在弹性碰撞时总是成立的。

3.4.4 冲击摩擦

在二维碰撞中，如果接触面有摩擦，则物体受到切向冲量，如果切向冲量比较大，则物体之间的切向相对速度可能为零，此时没有相对运动趋势，摩擦力消失。切向冲量的大小，需要我们进行分类讨论。

例6.一袋面粉沿着与水平面倾斜成角度 $%5Calpha%3D60%5Eo$ 的光滑斜板上，从髙H处无初速度地滑下来，落到水平地板上。袋与地板之间的动摩擦因数 $%5Cmu%3D0.7$ . （1）试问袋停在何处？（2）如果H=2m， $%5Calpha%3D45%5Eo$ ， $%5Cmu%3D0.5$ ，袋又将停在何处？

解：（1）落到水平地板之前瞬间速度为 $v_0$ ，由动能定理

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_0%5E2%3DmgH%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A0$
以水平向右，竖直向下为正方向，则对应分速度

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_%7B0x%7D%3Dv_0%5Ccos%5Calpha%5C%5C%20v_%7B0y%7D%3Dv_0%5Csin%5Calpha%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$
在与地面的碰撞的过程中，假设一直受到地面支持力N和滑动摩擦力f.且

$f%3D%5Cmu%20N%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A2$
任意短时间dt内水平竖直冲量

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20dv_x%3D-fdt%5C%5C%20dv_y%3D-Ndt%20%5Cend%7Bcases%7D$
两边对整个碰撞过程求和，代入③得

$%5CDelta%20v_x%3D%5Cmu%20%5CDelta%20v_y%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A3$
令碰撞后

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_x%3Dv_2%5C%5C%20v_y%3D0%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A4%20%5Cend%7Bcases%7D$
将②⑤代入④得

$v_2-v_0%5Ccos%5Calpha%3D%5Cmu(0-v_0%5Csin%5Calpha)$
即

$v_2%3D%5Csqrt%7B2gH%7D%5Ccos%5Calpha(1-%5Cmu%5Ctan%5Calpha)%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%91%A5$
当 $%5Calpha%3D60%5Eo%2C%5Cmu%3D0.7$ 时，

$v_2%3C0$
不符合实际，故在碰撞结束前，面粉已与地面相对静止。.

（2）将数据代入⑥式得

$v_2%3D%5Csqrt%7B10%7Dm%2Fs$
加速度

$a%3D%5Cmu%20g$
则继续向右

$x_2%3D%5Cdfrac%7Bv_2%5E2%7D%7B2a%7D%3D0.5m$
上面过程中，虽然摩擦力的冲量无法直接计算，但是其始终与支持力冲量成正比，从而可以求解。

3.4.5 杆相关碰撞

在带有铰链轻杆的碰撞中，由于铰链对轻杆的作用力沿杆方向，故物体在垂直杆方向受到的冲量为0.

例7.由绝对刚性的轻杆连接两个很小的重球组成"哑铃"，以速度 $%5Calpha%3D45%5Eo$ 沿垂直于静止不动的光滑的墙平动，并且"哑铃"的轴与墙面成 $%5Calpha%3D45%5Eo$ 角（如图所示）。试问当"哑铃"与墙发生弹性碰撞后将怎样运动？（1）求质心速度v'；（2）求两球绕质心做圆周运动的速度v.

解：（1）假设碰后速度如下图所示

由于墙光滑，切线方向动量守恒

$0%3Dm(v_3-v_4)$
弹性碰撞，碰撞前后机械能守恒

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm(v_1%5E2%2Bv_3%5E2)%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dm(v_2%5E2%2Bv_4%5E2)%20%3D2%5Ctimes%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_0%5E2$
由于速度关联，沿杆方向速度相等

$v_3%5Csin%5Calpha-v_1%5Ccos%5Calpha%3Dv_2%5Ccos%5Calpha-v_4%5Csin%5Calpha$
由于冲量沿杆，下方小球垂直杆方向动量守恒

$mv_0%5Csin%5Calpha%3Dm(v_2%5Csin%5Calpha%2Bv_4%5Ccos%5Calpha)$
联立以上四式得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_1%3Dv_0%5C%5C%20v_2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dv_0%5C%5C%20v_3%3Dv_4%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dv_0%20%5Cend%7Bcases%7D$
质心平行墙方向速度为0，故质心速度

$v'%3D%5Cdfrac%7Bmv_1-mv_2%7D%7B2m%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dv_0$
（2）相对质心圆周运动速度

$v%3D%5Csqrt%7Bv_3%5E2%2B(v_1%2Bv'%5E2)%7D%3D%5Cdfrac%7B2%5Csqrt2%7D%7B3%7Dv_0$
需要注意的是，上方小球在碰撞前后相对墙的速度大小相等，方向相反。这一点符合我们之前的结论。

另外，本题用之前的动量定理的方法也可以求解。

3.4.6 练习

练1.如图所示，水平桌面上有10个质量同为m的静止小木块沿直线放置，相邻两个小木块的间距同为l，每个小木块的线度可略，各自与桌面间的摩擦因数同为 $%5Cmu$ .以水平恒力F，沿小木块排列方向推动第1个小木块，而后与前方的小木块相继发生完全非弹性碰撞，力F始终作用着，当到达第10个小木块的侧面时，前9个小木块刚好停住，未能发生碰撞将小木块1，2，...，9一起构成的系统作为讨论的对象，试求过程中（1）系统曾经有过的最大动量大小；（2）系统曾经有过的最大动能

答案： $%EF%BC%881%EF%BC%89P_%7Bmax%7D%3D2%5Csqrt%7B21%7Dm%5Csqrt%7B%5Cmu%20gl%7D%EF%BC%9B%0A%0A%EF%BC%882%EF%BC%89E_%7Bkmax%7D%3D%5Cdfrac%7B25%7D%7B3%7D%5Cmu%20mgl$