利用牛顿恒等式解决对称和问题

2023-08-22 19:47 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

之前在评论区立过flag要写篇文章讲解，今儿就来兑现承诺~

开头不想卖关子了，直奔主题吧~

设一个多项式方程 $x%5E%7Bn%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dx%5E%7Bn-2%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx%5E%7B%7D%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0(n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B%2B%7D)$ (~为常系数)的根为 $x_1%2Cx_2%2Cx_3%2C...%2Cx_n$ ，那么根据因式定理，该多项式可以分解为 $(x-x_1)(x-x_2)%5Ccdots%20(x-x_n)%3D0$

如果我们将下面的式子进行展开，再与前面的常系数进行对比，就可以得到根与系数之间的关系。

然而，直接暴力展开来观察未免过于“呆”了，那么有什么巧妙的方法更方便归纳么？答案是利用组合的思想

多项式相乘，根据分步乘法原理，其完全展开的每一项均可以视为经n次挑选后相乘的结合：

ps:对于完全展开式中的其中一项，要经历这n次选择后(这件事)才完成，因此采用分步乘法原理

第1个括号有选x和选-x₁两种选择；第2个括号有选x和选-x₂两种选择；第3个括号有选x和选-x₃两种选择；以此类推

经过这n步后，于是就有 $2%5En$ 种选择方案，也即完全展开后一个有 $2%5En$ 项

我们要对这 $2%5En$ 项按x的次数由高到低进行归纳：

求 $x%5En$ 项的系数：

$x%5En$ 代表有n个x相乘，仅当每个括号都选x时相乘才能得到，因此只有1种方案，即： $x%5Ccdot%20x%5Ccdots%20x%3Dx%5En$ ，因此 $x%5En$ 项的系数为1；

求 $x%5E%7Bn-1%7D$ 项的系数：

$x%5En$ 代表有n-1个x相乘，由此说明n个括号中有n-1个括号选x，1个括号不选x

那么我们就要对这1个不选x括号进行讨论：

若第1个括号不选x，则该项为：

$(-x_1)%5Ccdot%20x%5Ccdot%20x%5Ccdots%20x%3D-x_1x%5E%7Bn-1%7D$

若第2个括号不选x，则该项为：

$x%5Ccdot%20(-x_2)%5Ccdot%20x%5Ccdots%20x%3D-x_2x%5E%7Bn-1%7D$

若第3个括号不选x，则该项为：

$x%5Ccdot%20x%5Ccdot%20(-x_3)%5Ccdots%20x%3D-x_3x%5E%7Bn-1%7D$

以此类推，那么根据分类加法原理，进行合并同类项得：

$(-x_1-x_2-%5Ccdots%20-x_n)x%5E%7Bn-1%7D$

ps:选出还 $x%5E%7Bn-1%7D$ 项有n种方案(即完成这种事情有n种方案)，因此采用分类加法原理

因此 $x%5E%7Bn-1%7D$ 项的系数为 $-x_1-x_2-%5Ccdots%20-x_n$ ；

暂时还没发现明显的规律，不妨继续探索~

求 $x%5E%7Bn-2%7D$ 项的系数：

$x%5E%7Bn-2%7D$ 代表有n-2个x相乘，由此说明n个括号中有n-2个括号选x，2个括号不选x

那么我们就要对这2个不选x括号进行讨论：

若第1个和第2个括号不选x，则该项为：

$(-x_1)%5Ccdot%20(-x_2)%5Ccdot%20x%5Ccdot%20x%5Ccdots%20x%3Dx_1x_2x%5E%7Bn-2%7D$

若第1个和第3个括号不选x，则该项为：

$x%5Ccdot%20(-x_2)%5Ccdot%20(-x_3)%5Ccdot%20x%5Ccdots%20x%3Dx_2x_3x%5E%7Bn-2%7D$

以此类推直到轮完 $x_1x_nx%5E%7Bn-2%7D$

然后就轮到"不选第2个"放前面了，这里就要与"不选第3个"之后的每个进行组合，因为"不选第2个"与"不选第1个"组合前面已经讨论过了，因此就类似于小学时学的"打电话"问题，当然其实也是高中学的组合问题：从n个"不选第~个"中选择不选x的两项，选出这两项没有先后顺序

然后轮完 $x_2x_nx%5E%7Bn-2%7D$

再从 $x_3x_4x%5E%7Bn-2%7D$ 轮到 $x_3x_nx%5E%7Bn-2%7D$

以此类推又进行了一次归纳，再根据分类加法原理进行合并同类项，于是得到

$x%5E%7Bn-2%7D$ 项的系数为

$x_1x_2%2Bx_1x_3%2B...%2Bx_1x_n%2Bx_2x_3%2Bx_2x_4%2B...%2Bx_2x_n%2B...%2Bx_%7Bn-1%7Dx_n%3D0$

到此式子就有些复杂了，因此我们需要察觉下其规律：

其相当于从 $x_1x_n$ 中任选2个相乘，再把这 $C_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%20$ 种结果进行相加，我们给其取名曰：初等对称多项式 $e_k$ ，这便是牛顿恒等式中的内容之一

我们记 $e_1%3Dx_1%2Bx_2%2B...%2Bx_n$

$e_2%3Dx_1x_2%2Bx_1x_3%2B...%2Bx_%7Bn-1%7Dx_n$

$e_3%3Dx_1x_2x_3%2Bx_1x_2x_4%2B...%2Bx_%7Bn-2%7Dx_%7Bn-1%7Dx_n$

以此类推，也即 $e_k$ 表示从这n个根中任选k个根进行相乘，再把这 $C_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%20$ 种结果进行相加

定义了初等对称多项式，我们便可以对原方程的系数进行高度概括了，即：

$x%5E%7Bn%7D-e_1x%5E%7Bn-1%7D%2Be_2x%5E%7Bn-2%7D-e_3x%5E%7Bn-3%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx%5E%7B%7D%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0(n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B%2B%7D)$

也就是从第二项起由e₁往右依次到 $e_n$ ，且前面的正负号交替

这里有两点需要解释：1是x的次数是n-几，那么就有几个括号不选x，那么系数自然就是对这几个根的轮换和，因此初等对称式的下标就是几；

然后就是正负号问题：由于我们先前定义的是对 $x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n$ 的轮换和，然而原方程中由于是将 $-x_1%2C-x_2%2C...%2C-x_n$ 视为整体，因此原式中是对 $-x_1%2C-x_2%2C...%2C-x_n$ 的轮换和，那么如何转化把前面的符号去掉呢？就是奇偶讨论了：

当不选x的个数为奇数时，-1的奇数次方=-1，因此前面最终带负号，因此原式中 $e_1%2Ce_3%2Ce_5%2C...$ 这些前面会多带个负号；

当不选x的个数为偶数时，-1的偶数次方=1，因此前面最终带正号，正号可省略，因此原式中 $e_2%2Ce_4%2Ce_6%2C...$ 这些前面是正号；

于是，我们便对多项式方程根与系数进行了优雅而高度的概括！

让我们再欣赏一番这和谐完美的形式：

$%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%20%7B%5Clarge%20x%5E%7Bn%7D-e_1x%5E%7Bn-1%7D%2Be_2x%5E%7Bn-2%7D-e_3x%5E%7Bn-3%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx%5E%7B%7D%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0%7D%20%7D$

特殊的情况，如果取n=2就会得到一元二次方程x²-e₁x+e₂=0，那么这系数就是：-e₁=-(x₁+x₂),e₂=x₁x₂

这也就是我们熟知的韦达定理！原来，证明两根之和/两根之积，用求根公式暴推是“”粗鲁的“”，其背后竟有如此优雅美妙的组合证明！

我们再来看，如果把根代进方程会如何？

由于 $x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n$ 是原方程的n个根，那么分别将其代入方程组，就有：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax_1%5E%7Bn%7D-e_1x_1%5E%7Bn-1%7D%2Be_2x_1%5E%7Bn-2%7D-e_3x_1%5E%7Bn-3%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx_1%5E%7B%7D%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0%20%5C%5C%0Ax_2%5E%7Bn%7D-e_1x_2%5E%7Bn-1%7D%2Be_2x_2%5E%7Bn-2%7D-e_3x_2%5E%7Bn-3%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx_2%5E%7B%7D%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0%20%5C%5C%0A%5Ccdots%20%20%5C%5C%0Ax_n%5E%7Bn%7D-e_1x_n%5E%7Bn-1%7D%2Be_2x_n%5E%7Bn-2%7D-e_3x%5E%7Bn-3%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx_n%5E%7B%7D%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

相加，即有：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26x_1%5E%7Bn%7D%2Bx_2%5En%2B...%2Bx_n%5En%5C%5C%0A-e_1%26(x_1%5E%7Bn-1%7D%2Bx_2%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Bx_n%5E%7Bn-1%7D)%5C%5C%0A%2Be_2%26(x_1%5E%7Bn-2%7D%2Bx_2%5E%7Bn-2%7D%2B...%2Bx_n%5E%7Bn-2%7D)%5C%5C%0A-%26...%5C%5C%0A%26%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D$

为此，我们再定义幂和对称多项式 $P_k$ ，这便是牛顿恒等式中的内容之二

我们记 $P_1%3Dx_1%2Bx_2%2B...%2Bx_n$

$P_2%3Dx_1%5E2%2Bx_2%5E2%2B...%2Bx_n%5E2$

...

$P_n%3Dx_2%5En%2Bx_2%5En%2B...%2Bx_n%5En$

以此类推，也即 $P_k$ 表示所有根的k次方和

于是上式简化为：

$%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%20%7B%5Clarge%20P_n-e_1P_%7Bn-1%7D%2Be_2P_%7Bn-2%7D-e_3P_%7Bn-3%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7DP_1%2B%5Ctext%7B~%7D%3D0%7D%20%7D$

这也就得到了牛顿恒等式(初级版)

而上式可以再进一步拓展，我们把前文中的每一个式子都乘以其对应根的λ次方，即第1个式子两边同乘 $x_1%5E%5Clambda$ ；第2个式子两边同乘 $x_2%5E%5Clambda$ ；以此类推得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax_1%5E%7Bn%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%20%7D-e_1x_1%5E%7Bn-1%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2Be_2x_1%5E%7Bn-2%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D-e_3x_1%5E%7Bn-3%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx_1%5E%7B1%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dx_1%5E%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%3D0%20%5C%5C%0Ax_2%5E%7Bn%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D-e_1x_2%5E%7Bn-1%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2Be_2x_2%5E%7Bn-2%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D-e_3x_2%5E%7Bn-3%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx_2%5E%7B1%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dx_2%5E%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%3D0%20%5C%5C%0A%5Ccdots%20%20%5C%5C%0Ax_n%5E%7Bn%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D-e_1x_n%5E%7Bn-1%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2Be_2x_n%5E%7Bn-2%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D-e_3x_n%5E%7Bn-3%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7Dx_n%5E%7B1%2B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dx_n%5E%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Clambda%20%7D%7D%7D%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

相加，即有：

$%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%20%7B%5Clarge%20P_%7Bn%2B%5Clambda%7D-e_1P_%7Bn-1%2B%5Clambda%7D%2Be_2P_%7Bn-2%2B%5Clambda%7D-e_3P_%7Bn-3%2B%5Clambda%7D%2B...%2B%5Ctext%7B~%7DP_%7B1%2B%5Clambda%7D%2B%5Ctext%7B~%7DP_%7B%5Clambda%7D%3D0%7D%20%7D$

这也就得到了牛顿恒等式(终极版)

也即满足幂和对称式下标由左到右依次-1即可

这时就又跟递推可以构建关系了！！！

我们先来小试牛刀：

已知x₁,x₂,x₃是方程x³-x²+1=0的根

求 $x_1%5E7%2Bx_2%5E7%2Bx_3%5E7%3D%5Ctext%7B____%7D$

依方程可写出对应的牛顿恒等式：

P(n+3)-P(n+2)+0P(n+1)+P(n)=0

即P(n+3)=P(n+2)-P(n)

这是个3阶递推，因此需要3个初始值

其中P(0)=x₁º+x₂º+x₃º=3

P(1)=x₁¹+x₂¹+x₃¹=e₁=1

这两个是比较容易得知的，下面还要再求一个初值，比如P(2)

需要利用到恒等式

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)

于是P(2)=x₁²+x₂²+x₃²=e₁²-2e₂=1

然后就可以递推了：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26P(3)%3DP(2)-P(0)%3D-2%5C%5C%0A%26P(4)%3DP(3)-P(1)%3D-3%5C%5C%0A%26P(5)%3DP(4)-P(2)%3D-4%5C%5C%0A%26P(6)%3DP(5)-P(3)%3D-2%5C%5C%0A%26P(7)%3DP(6)-P(4)%3D1%0A%5Cend%7Balign%7D$

即 $x_1%5E7%2Bx_2%5E7%2Bx_3%5E7%3DP(7)%3D1$

ps:求初值时若求P(-1)，即：

$P(-1)%3Dx_1%5E%7B-1%7D%2Bx_2%5E%7B-1%7D%2Bx_3%5E%7B-1%7D%3D%5Cfrac%7Bx_2x_3%2Bx_1x_3%2Bx_1x_2%7D%7Bx_1x_2x_3%7D%20%3D%5Cfrac%7Be_2%7D%7Be_3%7D%3D0%20$

与已求的P(0),P(1)一起也可以完成递推

例2：已知 $x%2By%2Bz%3D1%2Cx%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D1$ ，求 $(x%5E3%2By%5E3%2Bz%5E3)_%7B%5Ctext%7Bmin%7D%7D$

这题已经写过了，就直接截图贴上来好了

ps:如果不知道三次函数判别式，那就分离参数转化为水平线b=e₃与三次函数f(a)=a³-a²交点来做，也能求出e₃的取值范围

拓展：如果遇到的不是对称式，而是下面这种加权的这种又该怎么办呢？

已知 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aax%2Bby%3D3%20%5C%5C%0Aax%5E2%2Bby%5E2%3D7%20%5C%5C%0Aax%5E3%2Bby%5E3%3D16%20%5C%5C%0Aax%5E4%2Bby%5E4%3D42%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，求 $ax%5E5%2Bby%5E5%3D%5Ctext%7B_____%7D$

这个就不是牛顿恒等式了，不过仍可以转化为递推来求解

如果熟知二阶线性递推那就迎刃而解

二阶线性递推 $a_%7Bn%2B2%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Cmu%20a_n%3D0$ ( $%5Clambda%2C%5Cmu$ 为常数)对应的特征根方程为 $t%5E2%2B%5Clambda%20t%2B%5Cmu%20%3D0$ ，若该方程有2个不同的根(两个不等实根或一对共轭虚根，也即判别式不为0)时，其通项公式可以写成 $a_n%3DC_1%5Ccdot%20t_1%5En%2BC_2%5Ccdot%20t_2%5En$

ps:关于二阶线性递推笔者写过两篇文章分享自己个人粗浅的理解，可以参考：

深探特征根的奥妙

几类特殊递推数列的矩阵算法(前篇)

有了这一背景，我们就可以快速找到突破口了

设 $x%2Cy$ 为关于t的方程 $t%5E2%2B%5Clambda%20t%2B%5Cmu%20%3D0$ 的两根

记数列 $a_n%3Da%5Ccdot%20x%5En%2Bb%5Ccdot%20y%5En$

则该数列对应的线性递推式为： $a_%7Bn%2B2%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Cmu%20a_n%3D0$

条件化为已知： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aa_1%3D3%20%5C%5C%0Aa_2%3D7%20%5C%5C%0Aa_3%3D16%20%5C%5C%0Aa_4%3D42%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，目标化为求 $a_5$

递推式赋值n=1得：

$16%2B7%5Clambda%2B3%5Cmu%3D0$ ①

递推式赋值n=2得：

$42%2B16%5Clambda%2B7%5Cmu%3D0$ ②

联立①②解得： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Clambda%20%3D14%20%5C%5C%0A%5Cmu%20%3D-38%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

因此递推式即： $a_%7Bn%2B2%7D%2B14a_%7Bn%2B1%7D-38a_n%3D0$

递推式赋值n=3得：

$a_%7B5%7D%2B14a_%7B4%7D-38a_3%3D0%5CRightarrow%20a_5%3D20$

题后思考：牛顿恒等式以及二阶线性递推相同点是都涉及了二次方程的根的问题，那么产生最后一题这种非对称式的原因在何处呢？答案是初始值问题。

举一例为说明：

线性递推 $a_%7Bn%2B2%7D-3a_%7Bn%2B1%7D%2B1%3D0$ ，其对应特征根方程为 $t%5E2-3t%2B1%3D0$

则其通项公式形式： $a_n%3DC_1%5Ccdot%20t_1%5En%2BC_2%5Ccdot%20t_2%5En$

显然，这里的待定常数C₁,C₂由初值a₁,a₂决定(将a₁,a₂代入解线性方程组即得)

因此只有当初值 $a_1%2Ca_2$ 满足特殊情况时通项公式才会是对称的

即当初值满足 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Aa_1%3DP_1%3De_1%3D3%20%5C%5C%0Aa_2%3DP_2%3De_1%5E2-2e_2%3D7%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ 时通项公式对称，此时递推式即牛顿恒等式

递推是数学中及其重要且美妙的思想，其是通过概括前后关系来反应规律的一种重要手段。还有许多的递推应用就不一一枚举了，有待通过研究去发掘其精华，发觉数学那份优雅朴素的美感！

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利用牛顿恒等式解决对称和问题

已知x₁,x₂,x₃是方程x³-x²+1=0的根

求 $x_1%5E7%2Bx_2%5E7%2Bx_3%5E7%3D%5Ctext%7B____%7D$