连续统是一个数学概念。当人们笼统地说：“在实数集里实数可以连续变动”，也就可以说实数集是个连续统；更严格的描述需要使用序理论、拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前，有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值，或者说该量的变化范围是一个连续统。在数学上，连续统这一术语至少有两种精确定义，但并不等价。另外，连续统一词有时即指实数线或者实数集，这是较旧的叫法；见连续统假设。

连续统是一个拥有多于一个元素的集合，而且满足如下性质：

有序：任意两个元素之间可以排序；（实数集的任意两个数字之间可以排序）

稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素 ；（实数集的任意两个数字之间存在无穷多个其他的数字）

无洞：有上界的非空子集一定有上确界 实数集即为连续统的例子；实际上它是连续统的原型。

这里的无洞就是指完备性：

实数集完备性基本定理：确界定理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、柯西收敛定理、紧致性定理。 这六个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质：实数集关于极限运算是封闭的，即实数的连续性。它们之间相互等价，均可作为公理。

这里注意上确界和最大值的区别。

对于下面这个级数，令x=1,则等式左边是一个无理数，右边是有理数之和。左边可以看作是右边的上确界，也就是说，一个有理数的极限是无理数。如果只是有理数集合，则这个时候对于右边的有理数的级数运算来说，结果就是不完备的，因为这个结果变成了无理数，相当于掉进了有理数集合的洞里面去了。实数集刚好包括有理数和无理数，所以这种情况下就是完备的。