《微积分（第三版）》考试重点（6-10章）

声明

：本篇文章只负责

大学生（大一）

微积分考试重点，

并非

微积分6-10章

全部知识点

！

前言

：关于

6定积分

、

7多元函数微分学

、

8二重积分

、

9无穷级数

、

10常微分方程和差分方程

的

复习重点。

6定积分

声明：详细见上一篇文章《〈微积分（第三版）〉知识回顾（第6章定积分）》

7多元函数微分学

偏导不一定连续，连续不一定偏导！

（偏导符号找不到，用“ ə ”代替）

8二重积分

9无穷级数

必要条件：un和收敛，则un极限趋向0（敛必0）

几何级数（等比级数）：

1）|q|＜1，收敛于a/（1-q） 2）|q|≥1，发散 调和级数：发散

p-级数：

1）0＜p≤1，发散（条件收敛） 2）p＞1，收敛（绝对收敛） 比较审敛法

0≤un≤vn vn收敛，则un收敛（大的瘦了小的更瘦） un发散，则vn发散（小的胖了大的更胖） 比较审敛法的极限形式

Lim（n→∞）un/vn=L（0＜L＜+∞） 同时发散/收敛（L=0同敛，L=+∞同散） 比值审敛法（达朗贝尔审敛法）

Lim（n→∞）un+1/un＝ρ（后比前极限） ρ＜1收敛，ρ＞1发散，ρ=1无法判断 根值审敛法（柯西审敛法）

（适用于xⁿ，x的n²次方等） Lim（n→∞）ⁿ√un=ρ ρ＜1收敛，ρ＞1发散，ρ=1无法判断 交错级数审敛法（莱布尼兹定理）

满足1）un≥un+1；2）un极限=0（递减趋零） 则交错级数收敛，和S≤u1 任意项级数

un绝对值收敛，un绝对收敛； un绝对值发散，un收敛，un条件收敛。 幂级数

在这里只讲解题方法，见谅。 1） 计算ρ=lim（n→+∞）|an+1/an| 2） 求收敛半径R=1/ρ 3） 求收敛区间（-R，R） 4） x=±R时敛散性判断 决定敛散域——-R,R开闭区间四种组合 求和函数

声明：在这里只讲

间接展开法

（不讲泰勒级数和麦克劳林级数和直接展开法），见谅。

图片来源：哔哩哔哩up主宋浩老师官方《高等数学》十二课

笔者注：暂无简便方法，但可以只背①②③，其他推导即可 其他变式推导：①→⑦ ②→⑥ ③→④→⑤；③→④→⑧→⑨ 10常微分方程和差分方程

声明：以下只有“

一阶非齐次线性方程

”和“

二阶常系数齐次线性方程

”的部分公式，因为应付考试

一阶非齐次线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)：

二阶常系数齐次线性方程y''+py'+qy=0：

注：这里不考虑q²-4q＜0的情况。 祝各位能考出一个满意的成绩！ 以上 沉梦