关于一道一试模拟题的处理细节

数列  的首项  满足 ，且 ，证明：至多只有一个正整数对  使得 。

手玩容易发现  时 ，用归纳法也容易证明这一点。那么当  时，显然 ；当  时，若  则  符合题意；当  时……发现对于这种情形似乎无法继续处理了。

以下给出标准答案（有删改）：

记 ，则 ，而 ，可知 。又 ，因此  单调递减。由  递推公式不难知 。因此，若存在题目中的 ，则 ，所以 。由  单调性可知至多只有一个满足条件的 ，即证。

后者的改进在于新定义了一个数列  来更好地描述  的性质，这里体现在通过  的单调性更好地表现了  在  变大的同时变化的规律，从而将第一种有漏洞的证法中  与  的情形实现了统一，同时加以解决。