高等数学|2.9 闭区间连续函数的性质

2.9 闭区间连续函数的性质

1.什么是闭区间上的连续函数？

f(x)在[a,b]连续：(1)f(x)在(a,b)连续

(2)在x=a(左端点处)右连续

x=b(右端点处)左连续

2.性质

(1)有界性：f(x)在[a,b]连续 ⇒ f(x)在[a,b]有界 ⇒ f(x)在[a,b]有最大值和最小值。

（衍生：最大值——最小值定理：一个函数在闭区间上连续，那么这个函数在闭区间上一定有最大值最小值）

(2)零点定理：f(x)在[a,b]连续，且f(a)f(b)<0(端点值异号),∃ɛ∈(a,b)使得f(ɛ)=0;

(3)介值定理：f(x)在[a,b]连续，必定有最大值M，最小值m，如果有C (m≤C≤M) ，∃ɛ∈[a,b]使得f(ɛ)=C;

叙述2：f(a)=A,f(b)=B (A≠B) 对于介于A,B之间的任一不同常数C，∃ɛ∈(a,b)使得f(ɛ)=C;