七圣召唤天守阁触发概率估算及程序模拟
天守阁的触发概率究竟是多少，很少有up主科普，鲜有up主给出了触发概率的结果，但没有任何过程，其可信度未免令人生疑。本文将介绍一种天守阁触发概率的估算方法，然后用程序模拟掷骰子过程，将其得到的结果与估算值进行比较。
对于只想知道程序模拟结果的，可移步至文章结尾
本文研究的是8骰子可重投一次情况下，队伍需要一种/两种有效骰这两种情况时天守阁触发的概率。
一：估算。
先考虑队伍只需要一种有效骰的情况：
假设一：掷出俩万能骰及以上时，天守阁必定触发。
假设二：有效骰出现次数总是出现期望次数次。
（说明：为简化计算，期望次数取近邻整数）
情形1：零万能骰
第一轮骰子期望出现一个有效骰，故二轮共掷出15个骰子，出现无万能骰的概率为（7/8)^15=1/7
第二轮7个骰子再次出现一个有效骰，剩下了6个骰子，如果要不触发天守阁，那么将由最多3种颜色的骰子（不包含万能骰和有效骰）组成，仅考虑三种颜色骰子比为2：2：2和1：2：3的情况，因为一般偏离平衡点越多，出现概率越小，于是总不触发天守阁概率为
(1/7) * A(6,3) * [ C(6,2) * C(4,2) + C(6,1) * C(5,2) ]
/ (6^6)
=5.5%
情形2：一万能骰
同样考虑共掷出15个骰子（14个结果也差不多），出现一万能骰的概率为
C(14,1)*（7/8)^14*(1/8)=2/7
第二轮由两种颜色骰子平分5个位置，仅考虑骰子比为2：3和1：4的情况，不触发天守阁的概率为
（2/7) * A(6,2) * [ C(5,2) + C(5,1) ]
/ (6^5)
=1.6%
故对于仅一种有效骰的情形，估算出不触发天守阁的概率为5.5%+1.6%≈7%
再考虑队伍需要两种有效骰的情况：
如果做出与一种有效骰时一样的假设，将会得到非常离谱的结果（大概是5%左右，远远偏离之后程序模拟所得的结果），于是，我们对假设进行一定的修正。
假设一：掷出俩万能骰及以上时，天守阁必定触发。
（说明：和一种有效骰时相同。）
假设二：仅其中一种固定的有效骰骰子总是投出期望次次数。
（说明：计该有效骰为有效骰1，另一种有效骰为有效骰2）
情形1：零万能骰。概率为1/7
此情形下分为子情形：
子情形1：有效骰2次数为0，概率为C(14,0)*(7/8)^14=1/7
子情形2：有效骰2次数为1，概率为C(14,1)*(7/8)^13*(1/8)=1/3
子情形3：有效骰2次数为2，概率为C(14,2)*(7/8)^12*(1/8)^2=1/3
子情形4：有效骰2次数为3，概率为C(14,3)*(7/8)^11*(1/8)^3=1/7
子情形5：有效骰2次数为4，概率为C(14,4)*(7/8)^10*(1/8)^4=1/18
其它子情形不考虑
五种子情形下，不触发天守阁的概率分别为
8.2%,4.8%,10.6%,6.8%,8.8%
总概率和为39.2%，实际上，除去子情形5，总概率为31.4%，约等于10.6%*3，也就是说，对于未用子情形修正的情况，实际是漏算了有效骰次数为4这种小概率事件（但如果该事件一旦发生，出现不触发天守阁概率极高），该小概率事情有足够的观测效应。
情形2：1万能骰,概率为1/3
分为子情形：
子情形1：有效骰2次数为0，概率约为C(13,0)*(7/8)^13=1/6
子情形2：有效骰2次数为1，概率约为C(13,1)*(7/8)^12*(1/8)=1/3
子情形3：有效骰2次数为2，概率约为C(13,2)*(7/8)^11*(1/8)^2=1/3
子情形4：有效骰2次数为3，概率约为C(13,3)*(7/8)^10*(1/8)^3=1/7
子情形5：有效骰2次数为4，概率约为C(13,4)*(7/8)^9*(1/8)^4=1/20
五种子情形下，不触发天守阁的概率分别为
2.4%,0.26%,1.3%,2.9%,4%
不触发天守阁概率总和为10.86%，远大于1.3%*3，且主要贡献在小概率事件的子情形“4”和“5”处，这说明，对于难以发生的事件，用期望值进行估计会导致波动变得平缓，从而导致估计值降低。
对于两种情形，计算出的总不触发天守阁概率为40%/7+10%/3=9%
二：程序模拟。
用C++进行编程模拟。
对于单有效骰，代码如下（不敢兴趣的可跳过代码部分，代码后面有运行结果的截图）：
结果我截了一张图：
同样的，对于双有效骰，稍微改几个参数就行：
运行出的结果也截了一张图：
三：总结。
对于8骰子仅可重投1次的情形：
单有效骰天守阁触发概率：（对应单人站场或不切人情况）
估算值：93%
程序模拟值：90.0%
双有效骰天守阁触发概率：（对应多人放技能情况）
估算值：91%
程序模拟值：86.4%
（估算的结果只能说差强人意，如果有更好的估算方法，欢迎指出。）
