刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到了正3072边形

牛顿244、刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到了正3072边形

 

割圆术（百度百科）：…

 

发展历史

…发、展、发展：见《伽利略21》…

（…《伽利略》：小说名…）

…历、史、历史：见《欧几里得111》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为3：1）的数值来进行有关圆的计算。

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

 

但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。

正如刘徽（huī）所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长 而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。

东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。

这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。

…必、然、必然：见《欧几里得43》…

…精、确、精确：见《牛顿25》…

 

刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

…极、限、极限：见《欧几里得178》…

…思、想、思想：见《欧几里得154》…

…术：见《欧几里得29》…

…严、密、严密：见《欧几里得53》…

…论、证、论证：见《欧几里得149》…

 

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以 在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

 

如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。

这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。

如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到了正3072边形，并由此求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值。

这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。

…结、果、结果：见《牛顿105》…

 

刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

 

以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

 

在欧洲，这个成绩由法国数学家韦达于1593年取得。

 

…

根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。

…原、理、原理：见《欧几里得41》…

…出入相补（又称以盈补虚）原理：一个几何图形（平面的 或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变…

…

随着圆面积公式的证明，刘徽创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…科、学、科学：见《欧几里得4》…

…程、序、程序：见《欧几里得194》…

 

“古希腊人的穷竭（jié）法蕴含了极限思想。

请看下集《牛顿245、穷竭法所完成的证明一般分为两个步骤：》”

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