数学的第一个瞬间

为什么0不能作为除数？

为什么1/3+2/3＝1？

2×0＝1×0，显然这是成立的，因为结果就是0＝0。如果同时消去0，只剩下2＝1，它就是错的了。为什么呢？

除法和减法，被称为加法与减法的逆运算。减法的含义，是从一个“给定”的量中，拿走一些东西。如果拿走的方法是直接的，它就是减法，从而得到两个量，一个是拿走的，一个是剩下的。由于拿走的与剩下的加在一起，正好就是给定的量，所以加法与减法是可逆的。

除法拿走的方法不是直接的。它是先确定一个“单量”，也就是除数，然后将这个单量作为“定量”，按照定量从给定的量里，每次拿一个。最后，统计拿了多少次，将次数作为得数。

因此，除法会有余数，余数就代表了，剩下的不够定量，所以不能拿走。在这个余数中，余数的分母就是“单量”，所以分母一定也是除数。余数的分子，是剩下的量。剩下是因为它比单量少，所以余数的分子一定小于分母。

而已经拿走的次数，则是得数中的整数部分。因为每次只能拿走单量，所以次数与单量的乘积，就是给定的量减去余数分子的量。如果余数分子为0，则表明，给定的量正好等于单量与次数的乘积，此时就称为“整除”。所以乘法是除法的逆运算。

当除数是0时，最终剩下的量就是给定的量。给定的量是2，它就剩下2。给定的量是1，它就剩下1。1当然不等于2，所以不能得出等式。

0÷1＝0

得数的0，与除数的0，虽然都是0，但含义不同。除数的0，表示“单量”。

得数的0，表示“次数”。除数的单量与给定的量是无关的，这一步是事先完成的，它可以是任意的。设定了单量后，才开始与给定的量接触，每次从给定的量中拿走单量。

给定的量是0，则一次也无法拿走。不仅如此，剩下的量也是0，所以余数也是0。这才是得数的全部含义。

由此也可以知道，整除的时候，得数虽然是整数，其实它是把“剩余为0”省略不写了。

同样的，得数小于1时，则“次数为0”。如果得数是分数，这里就“省略不写”。如果得数写成数字形式，0就不能不写，所以它就写成小数。

0.333...+0.666...＝0.999...

＝1/3+2/3=1

从小数到分数再到整数，完成了从无限到有限的转换。

比如，一条线段长度是1。然后，让这条线段再增加一个1的长度。这很容易做，将1的线段延长，在延长线上截取1的长度，得到的就是1+1＝2。

我们把这条新线段看做两段，一段等于1，另一段也等于1。

在这两个线段之间，还有一个点，也叫做中点，它把两条线段分为相等的两段。

以上都没问题吧？好，现在要问，这个中点，是在前一条线段上呢，还是在后一条线段上呢？

如果它在前一条线段上，它当然就不能在后一条线段上。可是，我们怎么把后一条线段截取出来的呢？我们是直接以这个点为后一条线段的起点。既然它是起点，当然应该在第二条线段上。

但是，它在第二条线段还没有作出来之前，就已经存在了，而且就是在第一条线段之上。所以，它怎么成为后一条线段的一部分呢？

因此，我们只能承认，它既在第一条线段上，也在第二条线段上。我们会把这个点称为“公共端点”，已经表明，我们认为它同时在两条线段之上。

接下来就是这个问题了。如果我们再从头截取1/3＋2/3的线段，应该把中点也截去吗？

如果截去，剩下的线段就少了一点。

如果不截，截去的线段就少了一点。

所以，我们的做法是，将这一点截去，然后在原来的位置，补上一点。

这个做法，表明了这样一个事实。在这个中点的两边线段，长度是一样的，必须加上这一点才等于一。所以，两边线段都等于

0.9999..

截取的时候，因为加了中点，所以是1。而剩下的线段，因为添了一点，所以也是1。

以上还是没错吧？好，现在我们看这个长度2的线段。前面说了，它是由三个部分组成，公共端点也就是中点，左边一条，右边一条。

我们把这三部分加在一起，等于多少呢？左边加中点，所以它是1。

但是，右边少了一点，它就不是1了。即使我们在中点的位置添上这一点也没用，因为它与中点的位置重合，而中点现在已经是，也必须是归为左边了。

这样必然的结果是，如果在一条线段的延长线上，再作一条线段，它将永远少掉一个点。

这样一来，我们就有了两个“1”。一个，是第一条线段，它是完整的“1”。另一个，是接下来的线段，它永远少一点，可是它才是真正与后面的线段相等，因为后面的每一条线段也都少了一个点。所以它也是“1”。

这一矛盾的出现，就在于我们把0.999...与1分开了。只要把这两个点看做一个点，则这两个点必定重合。所以，我们在截取一条线段后，才可以添上。