拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理在高等数学里面有着一些重要的应用：

这里举一个应用的例子。

首先给出多元函数可微的定义:

上图中假设偏导数连续，这里给出多元函数连续的定义：

所以

这里要注意的是，

是很明显的，因为图3中两个偏导数点之间的差距明显和Δ x，Δ y有关，又因为偏导数连续，所以这个差距epsilon1肯定会随着Δ x，Δ y趋于0的时候而趋于0。

上图是按照图1中的定义要求，证明

是p的高阶无穷小。

上述拉格朗日中值定理的应用形式，还在很多其它类似的场合可以看到。我们在进行这方面应用的时候，特别要注意图3中函数连续性的要求。

总之，上述多元函数可微充分条件的证明，用到了以下几个步骤：

1：将图2中原等式按照拉格朗日中值定理的条件进行分拆。

2：利用偏导数连续的性质。

3：按照定义要求，证明相应部分是p的高阶无穷小。

像这种定理的证明，我们可能往往偏向忽略，但这种证明却往往用到特别多的概念，这篇文章特别提醒注意。