【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep7】数字革命：顺“序”开始or逆向发展？

上一期我们聊到，学科的分类： 

“我们可以按照一个简单的标准，把它们大致分为三类：

第一类，以探索多样性为目的的学科，如大多数的人文艺术类学科； 

  （以翻译学为例，就分了若干个大的学派，学派之间争论不休，但也各自发展蓬勃。）

第二类，以探索真理为目的的学科，如大多数自然逻辑类学科，讲究内部逻辑严丝合缝，一个反例就可以推翻前人坚信了几千年的真理；

（某些倒霉鬼也因为撼动了学科基石而一度沦为炮灰：比如大数学家毕达哥拉斯的某个徒弟因为发现了根号二不是分数于是被沉海了——不用怀疑，这哥们提出这个问题和布鲁诺坚持地球绕着太阳转的行为一样“恶劣”！没错，在古代西方，数学被称为“上帝的语言”。有没有感到，被知识支配的恐慌？） 知识就是力量！ 

第三类，以探索实用性为目的的学科，如大多数工程应用类学科，讲究怎样理论联系实际，把书上发展起来的理论，与现实存在的问题联系起来。 

（工程师座右铭：“我才不管一共有多少种可能性，或者这个方案，在理论上有多少问题没解答呢，我用起来方便就好了。”） 可真是个小机灵鬼！”

显而易见，数学理论可以归为第二类。”

对于第二类学科，有几条被普遍接受的要求：

”1. 逻辑自洽性——即内部逻辑可以自圆其说，每一项论断和推理都能从公理（即该学科的”逻辑起点“）上找到解释；

比如，”1+1=2“的依据是”皮亚诺公理“。

  2.可发展性——由已知的所有定义和公理定理，可以推导出新的结论，并且不会与之前的所有理论发生矛盾；

比如，由加法结合律（a+b）+c=a+（b+c），分配律(a+b)c=ac+bc，差的定义a-b=a+（-b），0的性质0=bc+(-bc)，bc+0=bc，能推出减法分配律（a-b）c=[a+（-b）]c=ac+（-b）c+0=ac+（-b）c+[bc+(-bc）]=ac+[（-b）c+bc]+（-bc）=ac+（-bc）=ac-bc，细心的读者会发现，运算的每一步都是以我们提到的规则作为依据的。

  3. 可证伪性——因为这种学科的目的是为了探索真理，那么就做出了一点预设，真理必然是存在且唯一的，所以，即使之前千万个例子没出过问题，一个反例的出现足以证伪；

就好比，曾几何时认为分数可以度量这个世界的毕得格拉斯学派，因为根号二的发现，陷入了第一次数学危机，于是数学界最终不得不承认，存在有理数以外的“新数“存在，而这个”新数“严格的定义，第一次出现，已经是两千多年以后了。”

对于第二类学科的研究与发展，始终遵循着这三个规则。

而第二类学科的发展方式，分为“顺向发展”和“逆向发展”两种：

顺向发展——指的是，每门学科会在各种分支遗留各种问题，在解决问题的过程中，想出来的：

a.新的解题技巧（尤其是构造技巧，“构造法”简介见Ep2）

在解决“是否存在处处连续但处处不可导的函数”的问题中，Weierstrass创造性地用函数项级数构造出来一个“处处连续处处不可导的函数”，而这种构造方法及思想在《实变函数》的证明题中应用广泛；

 注：感兴趣的小伙伴可以查阅史济怀老师的《数学分析教程》函数项级数部分举了范德瓦尔登的例子（从史老师三版教材内容对比来看，老师一直在不停地阅读各种经典的数学科普读物啊！），或者程其襄老师的《实变函数与泛函分析基础》康托尔三分集部分，书中给出了这种集合的维度不是整数的证明，而由这些构造对象引出了一个全新的分支“分形几何”（维度不是整数的几何）。

b.新的研究思路

在几千年前的古代，数学只有几何和代数两大分支，而十七世纪时，为了解决几何问题，笛卡尔创造性地引入了坐标法，从此，数学两大分支得到了统一，形成了一个全新的学科解析几何；

注：在柏拉图的《理想国》中，称几何是“把握善的理念”的学科，而代数是“通往真理本质”的学科，这两门学科的发展经历了几千年的历史，直到十七世纪天才修道士牛顿为了解决物理问题，发明了微积分（同时期德国的一名律师莱布尼兹在研究几何的过程中也发明了微积分，现在的我们学的微积分的逻辑符号有一套就是莱布尼兹发明的），数学的第三大分支才横空出世——分析学。

许多人不理解“分析学”的“分析”是什么意思，其实无论是英文名“analysis”还是中文的“分析”，都用到了这两个词最本源的意思，“分离”，也就是切割取出的意思。微分学，积分学的思路都来自于切割数轴的思想。所以理工科能看到“分析”的科目，一定会有“切取一小块/段”这一步，无论是数学专业的《实分析》（即《实变函数》），还是工科的《有限元分析》。

c.新的理论体系

我们知道，在笛卡尔出生之前的两千多年时间里，“几何学”与“代数学”是相互独立发展的，而在那时候，“古典代数学”的核心问题便是“解方程的问题”，而研究的对象主要有两大类：

1.n元一次方程组——简单的一元一次方程组的解法我们中学都已经熟悉，但是假如有一百个未知数呢？有没有解？有多少解？对n元一次方程组的研究引出了“现代代数学”的行列式，矩阵等工具的提出，后来人们发现这些工具除了解方程还具有更广泛普适的应用空间，于是就有数学家开始研究它们的性质，形成了《矩阵论》等学科；

2.一元n次方程——一元一次二次方程都很好直接解出来，文艺复兴时期是“古典代数学”的巅峰时期，接连发现了解一元三次四次方程的求根公式，而五次及以上的求根公式则导致了“代数学”在停滞了几百年后达成了一次飞跃，天才数学家阿贝尔严格证明了“五次及以上的一元方程”没有根式解，之后另一位天才伽罗瓦为了解决这个问题创造了一个全新的理论《群论》，提供了一种全新的研究视角：“运算结构”，大学高年级的《抽象代数》学习的便是这方面的内容。

以上便是数学顺向发展的三大常规途径。除此之外，数学发展还有一种思路便是逆向发展。

至于这种思路具体是怎样，我们明天再聊！