(初一)数学题分享

(1)证明:∵a,b是两个不相等的正整数

∴a²+b和b²+a是两个不相等的正整数

又∵a²+b/b²+a是整数

∴a²+b/b²+a＞1,即a²+b＞b²+a.

a²+b－b²－a=(a+b)(a－b)－(a－b)=(a－b)(a+b－1)＞0

易知a+b-1＞0,则a－b＞0,a＞b

(2)解:设a²+b/b²+a=k,则a²+b=k(b²+a)=kp².

kp²－p²=(k－1)p²=a²+b-b²－a=(a-b)(a+b－1),p²=(a－b)(a+b－1)/k－1

由p为质数,得p²=p²·1=p·p

①当a－b/k－1=1,a+b－1=p²时

a+b-1=p²=b²+a,b²－b+1=0.△＜0,舍.

②当a－b/k－1=p²,a+b－1=1时

由(1)知,a+b－1＞1,舍.

③当a－b/k－1=a+b－1=p时

(a+b－1)²=p²=b²+a,a=(a+b－1)²－b²=(a+2b－1)(a－1),a+2b－1=a/a－1=1+(1/a－1)

由a+2b－1为正整数,得1/a－1为正整数

∴a=2,则b=1.p=a+b－1=2

a－b/k－1=1/k-1=1/k－1=p=2,k=1.5,舍

④当a+b－1/k－1=1,a－b=p²时

a-b=p²=b²+a,b²+b=b(b+1)=0

b1=0,舍.b2=－1,舍

⑤当a+b－1/k－1=p²,a－b=1时

a=b+1,则k=a²+b/b²+a=b²+3b+1/b²+b+1=1+(2b/b²+b+1)

b²+b+1－2b=b²－b+1=(b－1/2)²+3/4＞0,则b²+b+1＞2b,2b/b²+b+1＜1.

∴k＜2,与“k为大于1的整数”矛盾,舍

⑥当a+b－1/k－1=a－b=p时

(a－b)²=p²=b²+a,a²－a－2ab=a(a－1－2b),a=2b+1.

则k=a²+b/b²+a=4b²+5b+1/b²+2b+1=4－3(b+1)/(b+1)²=4－3/b+1

由k,b为正整数,得b=2,则a=2b+1=5

∴p=a-b=3