黎曼ζ函数与一类积分的联系

我们熟知下面的结论：

然而，利用Gamma函数，我们可以得到下面的结论：

于是，将这个式子代入最上面的式子，交换求和和积分，我们可以得到：

目前看来，我们把ζ(2)化成了一个积分表达式，但这并不能使我们满足，我们尝试改变分子x的指数，得到下面的积分：

我们可以这样处理这个积分：

于是，我们把ζ函数用一类积分统一起来了。然而，我们并不想止步于此。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 我们现在尝试改变分母的指数。鉴于分母不是单项式，我们从简单的开始，不妨先把分母的指数定为2，得到这个积分：

计算一下，这个积分是发散的（实际上，这类积分只要分子的指数比分母小，积分就发散。证明不妨作为练习）。于是，我们升高分母的指数，得到：

这个积分是收敛的，但我们很快发现这个积分并不好处理，因为我们还不知道怎样直接把它展开为无穷级数。这时候，我们就要请出另一个特殊函数：

多重对数函数

。

上面为多重对数函数的级数定义，下面则是它的积分递推式。由这不难得出多重对数函数的导数递推式：

并且我们有

我用Wolfram Alpha计算了a取不同值时的函数值，如下：

可以看到，分母出现了我们想要的形式，不难用数学归纳法证明，当多重对数函数的脚标为负整数－s时，分母即为(1－括号里的数)的(s+1)次方，但分子让我们眼前一黑…… 不过好在分子再怎么复杂也只是一个常数罢了，这并不重要。我们已经知道，当多重对数函数的脚标为负整数－a时，分母即为(1－括号里的数)的(a+1)次方，分子是个多项式，不妨假设：

其中As(z)是关于z的多项式。那么，根据多重对数函数的导数递推公式，对这个式子求导再乘个z，我们能够得到As(z)的递推关系：

这玩意，反正我不会解As(z)... OK，现在相当于解决了分母带次数的式子的级数展开了：

下面，我们就来求解一般的积分：

（P.S.鉴于up主稀烂的计算水平，烦请各位看官自己试着推导过程。如果发现您的计算结果和我的不一样，我想大概率是我算错了，亦或者是我的思路错误，欢迎在评论区指正。） －－－－－－－－The End－－－－－－－－