数学趣题（2）

证明：1-cos(x)≤(1/2)x²

证明：令f(x)=(1/2)x²-1+cos(x)

则f'(x)=x-sin(x),f''(x)=1-cos(x)≥0

所以f'(x)在R上单调递增，又因为f'(0)=0,所以当x>0时，f'(x)>0;当x<0时，f'(x)<0.

所以f(x)在（0，+∞）上严格单调递增，在（-∞，0）上严格单调递减.又因为f(0)=0,所以当x≠0时，f(x)>f(0)=0

所以f(x)=(1/2)x²-1+cos(x)≥0.

所以1-cos(x)≤(1/2)x²，原命题得证