命题的对称化改造（再谈2022全国乙圆锥曲线）

2022-06-29 14:31 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2022全国乙，20）已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、 $y$ 轴，且过 $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ 、 $B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C-1%20%5Cright)%20$ 两点.

（1）求 $E$ 的方程；

（2）设过点 $P%5Cleft(%201%2C-2%20%5Cright)%20$ 的直线交 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $AB$ 交于点 $T$ ，点 $H$ 满足 $%5Coverrightarrow%7BMT%7D%3D%5Coverrightarrow%7BTH%7D$ .证明：直线 $HN$ 过定点.

解：（1）设 $E$ 的方程为 $mx%5E2%2Bny%5E2%3D1$ ，

因为 $E$ 过 $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ 、 $B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C-1%20%5Cright)%20$ 两点

所以 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%5Ccdot0%5E2%2B%20n%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%5E2%20%3D1%5C%5C%09m%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2B%20n%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E2%20%3D1%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%09n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

所以 $E$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1$ .

（2）先画个图

先猜再证：直线 $NH$ 过定点 $A$ ，即 $N$ 、 $H$ 、 $A$ 三点共线.

设 $M%5Cleft(%20x_1%2Cy_1%20%5Cright)%20$ 、 $N%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20$ ，

因为 $M$ 、 $H$ 关于 $T$ 对称，

所以 $x_1%2Bx_H%3D2x_T$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%09%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BMA%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BHA%7D%7D%26%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7By_1%2B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx_H%7D%7By_H%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7By_T%2B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx_H%7D%7By_T%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_H%7D%7By_T%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2x_T%7D%7By_T%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%3D3%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

欲证 $N$ 、 $H$ 、 $A$ 三点共线，

只需证 $k_%7BNA%7D%3Dk_%7BHA%7D$ ，

只需证 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BMA%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BNA%7D%7D%3D3%7D$ .

椭圆 $E$ 的方程可化为

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2-4y-4%7D%7B4%7D%3D1$ ，

整理得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D0%7D$ ，

设直线 $MN$ 的方程为

$mx%2Bn%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D1$ ，

因其过点 $P$ ，

所以 $m%20%5Ccdot%201%2Bn%5Cleft(%20-2%2B2%20%5Cright)%20%3D1$ ，

解得 $m%3D1$ ，

所以直线 $MN$ 的方程为

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx%2Bn%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D1%7D$ .

联立椭圆 $E$ 与直线 $MN$ ，得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft%5B%20x%2Bn%20%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$

展开

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-x%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20-n%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$

并项

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D-x%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-n%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$