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一个优雅的定理（一）

2023-05-28 16:04 作者:奥博格沙特 0人读过 | 我要投稿

一、定理及其证明

@James_w_l与我发现如下定理：

已知 $%5Codot%20O$ 为 $%E2%96%B3ABC$ 的外接圆， $%5Codot%20I$ 为 $%E2%96%B3ABC$ 的内切圆，D为 $%5Codot%20I$ 与BC的切点， $%5Codot%20O$ 上一点P满足 $IP%3DIA$ ，则O, D, P共线 $%5Ciff%20OI%2F%2FBC$

定理

证明

① 若 $OI%2F%2FBC$

取旁切圆 $%5Codot%20I_A$ 与BC的切点E，作 $%5Codot%20I$ 直径DF

引理：A, F, E共线（此引理对任意三角形均成立，无需 $OI%2F%2FBC$ ）

证明：如下图，取旁心 $I_A$ ，设 $%5Codot%20I$ 与AB切于H， $%5Codot%20I_A$ 与AB切于G

引理

易知 $A%2C%20I%2C%20I_A$ 共线

$%E2%88%B5IH%2F%2FI_AG$

$%E2%88%B4%5Cfrac%7BIA%7D%7BI_AA%7D%3D%5Cfrac%7BIH%7D%7BI_AG%7D%3D%5Cfrac%7BIF%7D%7BI_AE%7D$

$%E2%88%B5IF%2F%2FI_AE$

$%E2%88%B4%E2%88%A0AIF%3D%E2%88%A0AI_AE$

$%E2%88%B4%E2%96%B3AIF%E2%88%BD%E2%96%B3AI_AE$

$%E2%88%B4%E2%88%A0IAF%3D%E2%88%A0I_AAE$

$%E2%88%B4A%2CF%2CE$ 共线

注事实上，由 $%5Codot%20I$ 与 $%5Codot%20I_A$ 关于A位似，F, E为位似对称点，即得A, F, E共线

图1

回到本定理，易知P, A关于OI对称，D, F关于OI对称

故 $O%2CD%2CP$ 共线 $%5Ciff%20O%2CF%2CA$ 共线 $%5Ciff%20O%2CF%2CE$ 共线（由引理）

作 $OM%20%5Cbot%20BC$ 于M，则 $BM%3DCM$

$%E2%88%B5CE%3D%5Cfrac%7BAC%2BBC-AB%7D%7B2%7D%3DBD$

$%E2%88%B4CM-CE%3DBM-BD$

即 $EM%3DDM$

∴OM为DE中垂线

又OI为DF中垂线

∴O为 $Rt%E2%96%B3DEF$ 的外心

即得O为 $Rt%E2%96%B3DEF$ 斜边EF的中点

∴ O, F, E共线

由前面分析可知O, D, P共线

② 若O, D, P共线

图2

如图2，点D, E, F, M的构造同①，此时O仍在DE中垂线上

只需证O为EF中点

反证：若O不为EF中点

不妨设O在EF下方（在上方时类似）

$%E2%88%B5OA%3DOP%2CIA%3DIP%2COI%3DOI$

$%E2%88%B4%E2%96%B3AOI%E2%89%8C%5C%20%E2%96%B3POI$

$%E2%88%B4%E2%88%A0AOI%3D%E2%88%A0POI$

$%E2%88%B5%E2%88%A0AOI%3C%E2%88%A0FOI$

$%E2%88%B4$ 只需证 $%E2%88%A0FOI%3C%E2%88%A0DOI$ 即有矛盾

延长OI至K使 $IK%3DOI$

则 $%E2%88%A0DOI%3D%E2%88%A0OKF%2C%20KF%3DOD$

$%E2%88%B5OD%3COF$

$%E2%88%B4KF%3COF$

$%E2%88%B4%E2%88%A0KOF%3C%E2%88%A0OKF$

即 $%E2%88%A0FOI%3C%E2%88%A0DOI$

矛盾！

∴ O为EF中点

$%E2%88%B4OI%2F%2FBC$

$Q.E.D.$

说明证明该定理的关键在于利用内心的条件及对称性，由此想到构造旁切圆切点

二、推论

推论

推论1 若 $OI%2F%2FBC$ ，则 $ID%3DPD$

证1（由@James_w_l提供）

由欧拉公式， $OI%5E2%3DR%5E2-2Rr$

易知 $%E2%88%A0OID%3D90%C2%B0$

$%5Cimplies%20OD%5E2%3DOI%5E2%2BID%5E2%3DR%5E2-2Rr%2Br%5E2%3D(R-r)%5E2$

$%5Cimplies%20OD%3DR-r$

由定理可知，O, D, P共线

$%5Cimplies%20PD%3DOP-OD%3DR-(R-r)%3Dr%3DID$

证2

$%E2%88%B5%E2%88%A0IAC%3D%E2%88%A0IAB%2C%5C%20%E2%88%A0OAC%3D90%C2%B0-%E2%88%A0ABC%3D%E2%88%A0BAP$

$%E2%88%B4%E2%88%A0IAP%3D%E2%88%A0IAO$

又∵ A, P关于OI对称

$%E2%88%B4%E2%88%A0IPA%3D%E2%88%A0IPO$

由定理可知，O, D, P共线

$%E2%88%B4%E2%88%A0IPO%3D%E2%88%A0IPD$

$%E2%88%B4%E2%88%A0IPA%3D%E2%88%A0IPD$

由 $ID%2F%2FAP$ 即得 $ID%3DPD$

推论2 若 $OI%2F%2FBC$ ，则PI平分 $%E2%88%A0APD$

证明由推论1及 $ID%2F%2FAP$ 立得

注若用推论1证2来证明推论1，则已有PI平分 $%E2%88%A0APD$

推论3 若 $OI%2F%2FBC$ ，则 $%E2%96%B3APB%E2%88%BD%E2%96%B3CPD%E2%88%BD%E2%96%B3ACE%2C%20%E2%96%B3APC%E2%88%BD%E2%96%B3BPD%E2%88%BD%E2%96%B3ABE$

证明由定理可知，O, D, P共线

$%5Cimplies%20%E2%88%A0DPC%3D%E2%88%A0OPC%3D90%C2%B0-%E2%88%A0CBP%3D%E2%88%A0BPA$

又 $%E2%88%A0BAP%3D%E2%88%A0BCP%3D%E2%88%A0DCP$

$%E2%88%B4%E2%96%B3APB%E2%88%BD%E2%96%B3CPD$

∴ $%E2%96%B3APC%E2%88%BD%E2%96%B3BPD$

由定理的证明可知，A, O, E共线

$%5Cimplies%20%E2%88%A0EAC%3D%E2%88%A0OAC%3D90%C2%B0-%E2%88%A0ABC%3D%E2%88%A0BAP$

又 $%E2%88%A0APB%3D%E2%88%A0ACB%3D%E2%88%A0ACE$

$%E2%88%B4%E2%96%B3APB%E2%88%BD%E2%96%B3ACE$

同理， $%E2%96%B3APC%E2%88%BD%E2%96%B3ABE$

$Q.E.D.$

关于推论逆命题的证明，将在《一个优雅的定理（二）》中探讨.

本文中的方法为我与@James_w_l的方法，如有雷同，纯属巧合.

如果读者有其他方法，或者有问题，欢迎分享交流！

标签：数学数学竞赛内心平面几何五心外心旁心点共线问题圆相似

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