证明“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”

牛顿316、证明“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”

2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。

…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

图片内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…有、界、有界，函、数、函数，有界函数：见《牛顿303~306》…

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

…积：见《牛顿19》…

 

证明：设函数u在x0的某一去心领域U（去心）（x0，δ1）有界，设α是x→x0

时的无穷小。

…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…

根据函数有界的定义，得：

∃（存在）M＞0，使|u|≤M对∀（任意）x∈U（去心）（x0，δ1）成立。

…∃、∀：见《牛顿309》…

…∈：属于…见《牛顿303》…

…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…

根据无穷小的定义，得：

∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ2＞0，当x∈U（去心）（x0，δ1）时，有|α-0|<ε·1/M=ε/M

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

 

[无穷小

定义1 （直观定义） 绝对值无限减小的变量称为无穷小。

定义2 （直观定义）

对于任给的正数ε（无论它多么小），总存在正数M，使得不等式|x|＞M的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。

定义3

对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。

——《牛顿314》]

取δ=min{δ1，δ2}，则当x∈U（去心）（x0，δ1）时，

|u|≤M，|α|＜ε/M同时成立，

从而|uα|≤|u||α|＜M·ε/M=ε，

即|uα|＜ε。

…min{，}：取{，}里面最小的值…见《牛顿315》…

 

用无穷小定义判断，uα是当x→x0时的无穷小。

 

推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小

…推、论、推论：见《欧几里得66》…

 

推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小

“根据“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”，得：

f（x）=A+α，g（x）=B+β

∴ f（x）g（x）=（A+α）（B+β）=AB+βA+αB+αβ

请看下集《牛顿317、证明“lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）”》”

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