本课程 微积分流形上的微积分 致力于将高维Euclid空间中的微积分（高维微积分）推广至微分流形上的微积分。高维微积分一般涉及高维曲线、三维体积、三维空间中二维曲面上的积分，就此我需要一般性地获得 m 维Euclid空间中 r 维曲面上的积分。另一方面，高维微积分涉及的体积、曲线、曲面都仅仅涉及一个曲线/参数坐标（坐标卡），然而我们所需实际处理的几何体往往需要多个坐标卡才能确定几何体的位置并赋予坐标，就此需要引入微分流形的概念。

本课程按照多个坐标卡以实现局部Euclid化的观点引入距离空间中的微分流形。基于多重线性函数的观点引入流场上的张量场，并基于外积运算研究张量的表示及其代数性质。基于映照观点建立流形上的微分学，并将相关微分运算联系与连续介质场论。基于外积运算建立流形上的积分学，体现高维微积分中第一类、第二类积分的自然推广；并基于外微分运算获得微分流形上的Stokes公式。作为理论联系实际的重要方面，本课程特别涉及微分流形在常微分与偏微分方程、经典力学与理论物理中的相关应用，意图为研习V.I.Arnold等的相关著述提供充实的基础。

微分流形上的微积分 可以主要包括四部分内容：

（一）张量代数 

（二）微分流形上微分学

（三）微分流形上积分学

（四）专题性内容

第一部分 张量代数

（1）张量代数基础

1. 张量的定义与表示

2. 基本代数运算

3. 置换运算

4. 置换算子

（2）外积运算

力学数学 谢锡麟

2023年08月06日建立