这道题是我自己编的。题目：

对于任意的n次多项式f(x)，若满足f(0),f(1),f(2),...,f(n) ∈ Z，求证：∀t ∈ Z,f(t) ∈ Z

解法：

使用数学归纳法。

设命题P(k)为"对于任意的k次多项式f(x)，若满足f(0),f(1),f(2),...,f(k) ∈ Z，

∀t ∈ Z,f(t) ∈ Z"

证明P(0)成立：

显而易见。（任意一个零次多项式都是平行于x轴的，如果有一个y值是整数，那所有的y值就都是整数

了）

假设P(k−1)成立，证明P(k)也成立：

假设P(k − 1)成立。对于任意一个满足f(0),f(1),f(2),...,f(k) ∈ Z的k次多项式f(x)，考虑函数g(x) = f(x + 1) − f(x)。

这个函数是一个k − 1次多项式（展开一下f(x + 1) − f(x)的k次项，发现它被抵消了）。

然后∵ f(0),f(1) ∈ Z ∴ g(0) ∈ Z，∵ f(1),f(2) ∈ Z ∴ g(1) ∈ Z ……

∵ f(k − 1),f(k) ∈ Z ∴ g(k − 1) ∈ Z。所以g(0),g(1),...,g(k − 1) ∈ Z。而根据P(k − 1)，则∀t ∈ Z,g(t) ∈ Z。

由g(x) = f(x + 1) − f(x)，可得g(x) + f(x) = f(x + 1)。因为∀t ∈ Z,g(t) ∈ Z，所以根据 f(k) ∈ Z递推可得∀t ∈ Z且t > k,f(t) ∈ Z。

同理，f(x) − g(x − 1) = f(x − 1)。因为∀t ∈ Z,g(t) ∈ Z，所以根据f(0) ∈ Z递推可得 ∀t ∈ Z且t < 0,f(t) ∈ Z。

由题设，∀t ∈ Z且0 ≤ t ≤ k,f(t) ∈ Z 综上所述，∀t ∈ Z,f(t) ∈ Z，P(k)成立，命题得证。■