极化码数学原理(一) 域流 Filtration

2023-07-11 09:34 作者:乐吧的数学 0人读过 | 我要投稿

Filtration 域流，是定义在某个概率空间 $(%5COmega%2C%20F%2C%20P)$ 上的。

（录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1Jj411Z7PD/)

事件空间 F 的多个子集（子空间），满足一定条件就构成了域流 Filtration。

域流对应的是，获取的信息逐渐增多这样的事情。我们举个例子，例如投掷三个硬币，投掷后硬币向上的面有可能是正面，记为 Head，缩写为 H，也可能是背面，记为 Tail,缩写为 T.

因为投掷三个硬币，因此有以下八种可能：

$HHH%20%5C%5C%0A%0AHHT%20%5C%5C%0A%0AHTH%20%5C%5C%0A%0AHTT%20%5C%5C%0A%0ATHH%20%5C%5C%0A%0ATHT%20%5C%5C%0A%0ATTH%20%5C%5C%0A%0ATTT$

即样本空间 $%5COmega$ 为：

$%5COmega%20%3D%20%5C%7BHHH%2CHHT%2CHTH%2CHTT%2CTHH%2CTHT%2CTTH%2CTTT%5C%7D$

再没有投掷之前，我们只有两种可能: 没有投掷，对应是 $%5Cphi$ , 另外一种是投掷了，但是没有告诉你结果，那么就是所有样本构成的集合 $%5COmega$ .

此时，

$F_0%20%3D%20%5C%7B%5Cphi%2C%20%5COmega%20%5C%7D$ .

接下来，告知你第一个硬币的投掷结果，因为有两种可能，所以，整个三个硬币的结果，是下面两种情况之一：

$A_H%20%3D%20%5C%7B%20HHH%2C%5Cquad%20HHT%2C%5Cquad%20HTH%2C%5Cquad%20HTT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_T%20%3D%20%5C%7B%20THH%2C%5Cquad%20THT%2C%5Cquad%20TTH%2C%5Cquad%20TTT%5C%7D%20$

注意， $A_H$ 的补集是 $A_T$ ，即：

$A_H%5EC%20%3D%20A_T$

此时，我们可以得到事件空间为:

$F_1%3D%5C%7B%5Cphi%2C%20%5COmega%2C%20A_H%2C%20A_H%5EC%5C%7D$

接下来，如果告知第二个硬币的投掷结果，则有以下四种情况：

$A_%7BHH%7D%3D%5C%7BHHH%2C%5Cquad%20HHT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_%7BHT%7D%3D%5C%7BHTH%2C%5Cquad%20HTT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_%7BTH%7D%3D%5C%7BTHH%2C%5Cquad%20THT%5C%7D%20%5C%5C%0A%0AA_%7BTT%7D%3D%5C%7BTTH%2C%5Cquad%20TTT%5C%7D%20$

那么，可以得到事件空间为：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%0AF_2%3D%5C%7B%20%26%20%5Cphi%2C%5COmega%2CA_H%2CA_T%2C%20A_%7BHH%7D%2CA_%7BHH%7D%5EC%2CA_%7BHT%7D%2CA_%7BHT%7D%5EC%2CA_%7BTH%7D%2CA_%7BTH%7D%5EC%2CA_%7BTT%7D%2CA_%7BTT%7D%5EC%20%20%20%5C%5C%0A%0A%26A_%7BHH%7D%20%5Ccup%20A_%7BTH%7D%2C%20A_%7BHH%7D%5Ccup%20A_%7BTT%7D%2C%20A_%7BHH%7D%5Ccup%20A_%7BTH%7D%2C%20A_%7BHT%7D%20%5Ccup%20A_%7BTT%7D%5C%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D$