证明费马引理
牛顿374、证明费马引理
费马引理（百度百科）：
通过证明可导函数的每一个可导的极值点都是驻点（函数的导数在该点为0），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…驻、点、驻点：见《牛顿368》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。
需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。
…必、要、必要，条、件、条件，必要条件，费马引理给出了函数在某个点为极值的必要条件：见《牛顿369》…
也就是说，有些驻点可以不是极值点，它们是拐点。
…拐点：使函数凹凸性改变的点…见《牛顿368》…
费马引理陈述
函数f（x）在点a的某邻域U（a）内有定义，并且在a处可导，如果对于任意的x∈U（a），都有f（x）≤f（a）[或f（x）≥f（a）]，那么f '（a）=0。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
证明
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
设f（x）在ξ处极大，故不论Δx是正或负，总有f（ξ+△x）≤f（ξ）
…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。
小写ξ用于：数学上的随机变量…
…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…
f（ξ+△x）≤f（ξ）
→f（ξ+△x）-f（ξ）≤0
设△x˃0，
则[f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x ≤ 0
由极限的保号性有
f '+（ξ）=lim（△x→0+） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x ≤ 0 （1）
…极、限、极限：见《牛顿202~321》…
…极限的保号性：见《牛顿370~373》…
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]
…△x→0+：△x从正方向接近0…
而当△x＜0时，[f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x≥0
故
f '-（ξ）=lim（△x→0-） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x ≥0 （2）
…△x→0-：△x从负方向接近0…
∵ f（x）在a处可导
∴ 导数f ’（ξ）存在。
根据导数定义：f '-（ξ）=f '+（ξ）=f '（ξ）=lim（△x→0） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x （3）
用数轴判断，（1）、（2）两个不等式的解集为
f '-（ξ）=f '+（ξ）=lim（△x→0） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x=0 （4）
（3）（4）联立，得：f '（a）=0
“设f（x）在ξ处最小”的情况，同理。
“罗尔定理描述如下：
如果R上的函数f（x）满足以下条件：（1）在闭区间 [a，b] 上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b）。
则至少存在一个ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。
请看下集《牛顿375、证明罗尔中值定理》”
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