2023数分Day68（多元函数微分学与隐函数定理6：几何应用）

一、整体

需要对法向量、方向向量；曲面的切平面和法线、过一定点的直线方程等知识有清晰认识

二、需要复习的

1、过一定点，且知其方向向量，去求空间的一条直线方程

2、曲面的切平面和法线（两个表达方式，一个用zx，一个用F（x））

用zx

用F(x)

三、具体真题

1【新疆大学】

思路：要求两个平面平行←→两个平面的法向量平行；

具体做法：

①先记函数F（x,y,z）,求出梯度

②设出曲面在点P0的切平面与平面平行

③因此gradF(P0)=n两个向量平行

④设k,把x0,y0,z0用k表示，同时把P0代入这个曲面方程，得到P0具体两个情况；

⑤把Fx,Fy,Fz和x0,y0,z0代入，得到曲面的切平面方程

2【华南理工】

通过此题要记住f在P0处沿n方向的方向导数

fn(P0)=gradf（P0）*n=|gradf(P0)|*|n|*cosθ

具体做法：

第一问：先写出P0的单位外法向量，且f关于x,y,z有连续偏导，且gradf=(1,1,1)，然后利用上述的公式fn(P0)=gradf（P0）*n，得到fn(P0)=x0+y0+z0

第二问：设出gradf(P0)和n的夹角θ，θ∈【0，2π）

用上述公式fn(P0)=|gradf(P0)|*|n|*cosθ，可以把cosθ≤1放缩，得到放缩值根号3；等号当且仅当θ=0，gradf(P0)与n在方向上一致，所以设k>0，使得n=k*gradf(P0),于是得到x0=y0=z0=k，得到k=1/根号3（负舍），得到x0=y0=z0，而n=(x0,y0,z0),于是fn(P0)=gradf(P0)✖n=根号3

3【华东理工】

核心：将线面平行转换为线线垂直来求解（一条线是直线的方向向量；另一条线是切平面的法向量）

注意：要把给一个方向向量和一个定点的直线方程的方程会写！！

具体做法：

1首先记F（x,y,z）

2把gradF(P0)这个梯度求出来，求导的细节需要特别关注；

3要去证明曲面在任意点P0的切平面与某一定直线平行

→即去说明曲面在该点P0的切平面的法向量与该直线的方向向量d垂直→得到gradF(P0)*d=0；

4、观察发现gradF(P0)*(b,c,a)=0，这就说明二者垂直，同时得证曲面在任意点P0的切平面与某一定直线x-0/b=y-0/c=z-0/a平行，注意这里取了一个点（0，0，0）满足方程的点代入。

4【中国矿业大学】

思路：先做题可以让思路清晰

做法：1、利用题干条件，先把切平面的法向量n设出来，这个n与两个平面的法向量n1,n2分别垂直，于是n*n1=0,n*n2=0，把这个n最后可以只用一个变量k表示

2、记曲面F和切点P0，写出切平面方程表达式，注意到gradF(P0)=n，然后得到x0,y0,z0可以用k表达出来，再代入到曲面方程中解出k的情况

3、最后分别讨论，求出切点以及梯度各个分量，得到切平面的方程，有两种情况；最后可以写成一个归总的形式

5【厦大，2022；中科大】

思路：关键在求曲面的切平面方程，题目的两问分别用两种切平面的表达式来做；

具体做法：

第一问：①先记G，然后求出gradG;

②把P0这个切点设出来，取法向量n（可以在gradG基础上改善），得到切平面方程

③取（x,y,z）=(a,b,c)，代入上述切平面方程，得到等式恒为0；因此切平面经过定点（a,b,c）

第二问：

①先先出曲面的切平面方程（第二种表达方式）：zx(x-x0)+zy(-y0)-(z-z0)=0;

②然后对该式关于x,y分别求偏导，记得化简；

③注意到题干给出了二阶偏导的各种情况，说明了偏导是连续的，因此，化简中可以有zxy=zyx；

④比照题干的要求，得出现（zxy）^2,所以让化简后的（1）式*zyy,（2）式*zxy，为了让两个方程中的后面一项没有，得到zxx*zyy=(zxy)^2，得证！！