量子场论（八）：量子庞加莱变换的生成元算符

时空坐标的庞加莱变换为：

它是洛伦兹变换与时空平移的组合。如果量子系统既有洛伦兹对称性又有时空平移对称性，那么庞加莱变换（这里的洛伦兹变换是固有保时向的）能诱导出态矢的线性幺正变换：

是一个线性幺正算符，描述量子庞加莱变换，它满足：

算符的幺正性保证态矢的内积在量子庞加莱变换下不变：

是恒等变换算符。对应于洛伦兹变换，因此：

这是量子洛伦兹变换。描述量子时空平移变换。

对时空坐标先做庞加莱变换再做庞加莱变换得到：

这相当于做庞加莱变换因而存在同态关系：

因此，集合和分别构成庞加莱群和洛伦兹群的无穷维幺正线性表示。从而，由：

得到逆变换算符：

无穷小洛伦兹变换的矩阵形式是无穷小时空平移变换为其中是无穷小量。从而，无穷小庞加莱变换的无穷小算符为：

其中：

分别是量子洛伦兹变换和量子时空平移变换的生成元算符。是反对称的，即：

于是有6个独立分量，有4个独立分量。由的幺正性可知生成元算符也是幺正的：

根据逆变换（8.9）和同态关系（8.7），有：

利用有：

代入（8.15）式，得到：

与（8.14）式比较，得到：

取庞加莱变换变为洛伦兹变换：

可以得到生成元在态矢中的期待值：

可将和看做由洛伦兹变换诱导的和的洛伦兹变换：

这说明是个二阶张量算符，是个四维矢量算符。