《几何原本》命题1.48【夸克欧氏几何】

命题1.48：

在任意三角形中，一边上的正方形等于另两边上的正方形之和，那么后两边的夹角是直角

已知：△ABC，其中SBC上的正方形=SAB上的正方形+SAC上的正方形

求证：∠BAC是直角

解：

过点A作AD⊥AC

（命题1.11）

在AD上截AD=AB

（命题1.3）

连接CD

（公设1.1）

证：

∵AD=AB

（已知）

∴SAD上的正方形=SAB上的正方形

（公理1.4）

∴SAD上的正方形+SAC上的正方形=SAB上的正方形+SAC上的正方形

（公理1.2）

∵AD⊥AC

（已知）

∴Rt△ACD中，∟DAC是直角

（定义1.10）

∴SCD上的正方形=SAD上的正方形+SAC上的正方形

（命题1.47）

∵SBC上的正方形=SAB上的正方形+SAC上的正方形

（已知）

∴SBC上的正方形=SCD上的正方形

（公理1.1）

∴BC=CD

（公理1.4）

∵AB=AD，AC公用

（已知）

∴△ABC≌△ADC，∠BAC=∟DAC

（命题1.8）

∴∠BAC也是直角

（公理1.1）

证毕

此命题是本卷的最后一个命题