[高中数学] 函数单调性与值域 (Ⅰ)

我们知道函数最重要的几个性质有：定义域、值域、单调性。这三者是不可分割的！

今天我们就简单来谈谈这三者。

首先，对于一个函数，我们最能直观得到的是：

①自变量  ②作用法则  ③因变量  ④定义域

这里我们就能知道函数定义域（注，一般若无特殊说明，函数定义域默认为最大情况，如函数y=，定义域则为[0,+∞)），而我们就只需要从这4个量里面得到单调性与值域。

那么在此基础上，我们要如何得到值域呢？

值域，是什么？对于函数:，也便是对于所有的x，通过作用法则，得到全部的对应的y。但是事实上，我们接触到的绝大多数函数，一般的函数都会是连续的，或者极大部分连续，那么求值域问题就变成了单纯的求最大值和最小值问题了。

那我们要如何到的最大值和最小值呢？那么自然就需要知道函数的单调性了。

从而我们的主要目标就变成了 求函数的单调性。

但是对于函数而言，是多变的，我们不可能简单直观的轻松得到单调性。

这就需要我们去大量学习记忆了。

这里记忆是指记忆什么呢？在我看来，是记住一些规则，以及一些函数的具体走势。

下面简单介绍常见的函数。

首先从初中时候的讲起：

• （1）y = kx + b，即 线性函数、一次函数

对于一次函数，我们需要注意：

对于一次函数 y=kx+b 而言，

当k＞0时，函数为增函数；当k=0时，函数为常值函数；当k＜0时，函数为减函数。

这么看来，似乎与b无关？答案确实是如此，当以后扯到平移伸缩变换的时候再细讲。

值得一提的是，什么是常值函数？他的意思是，不会随着自变量x的改变而改变。这什么意思？当我们把 k=0 带入时，得到 y=b，这个表达式与x没有任何关系，但他仍然是x的函数。

也便蜕变成这样的函数，

当k<0时也是同理。

• （2）y = k / x，反比例函数

对于反比例函数 y=k / x 而言，

首先，反比例函数，我们值得注意的是，x在位于分母的位置，我们知道，无论如何，分母都是不能为0的。于是默认的定义域也就变成了 x≠0 。

当k>0时，图像走势便如上图所示，注意他是分段递减！他在 上单调递减，这里我是用的是 “ 和 ”，而不是  “  ”，这是不同的概念。“ 和 ”表明了 分段 的意思，但 “  ” 则暗示整体。

当k=0时，则退化为 y=0，与上面的y=b相同。（因为也就是b=0的情况嘛 : D ）

当k<0时，则与k>0的情况相反，分段递增。这里则不再赘述。

另外，比较重要的一点是，从图像中我们注意到反比例函数一个特殊性质。

我们可以看到，x从某一个正数，不如假设为4，逐渐减小，直到趋近为0，函数会有什么表现呢？不妨假定这个函数为：y=1/x，我们依次取几个特殊的定值，便得到：

我们可以看到，随着x越来越逼近0，y的值也随之越来越大。

我们能够预见到，反比例函数，当x趋近与0时，y将逼近无穷大！

这一点是十分重要的！

叮叮叮 ~ 小考核时间    ：D

已知 f（x） 是反比例函数，且系数k>0，又知道 f（x1）> f（x2），那么...! 请问 x1、x2与0的关系可能有哪些呢？

耐心思考吧 ~ 

Tips：结合图像看，更快得出答案哦 ~

Answer：

① 0<x1<x2 ； ②x1<x2<0 ;  ③ x2<0<x1

前两个是很容易通过单调性得到的，但是第三个则是 通过分段这一特殊性得到！

• （3），二次函数

对于二次函数而言，是十分特殊的存在，因为他多了一个特殊的性质，对称性。

就像图形所示的一般，红色部分（二次函数）关于蓝色线对称，那么这个蓝色的便被称为对称轴。

为什么对称性就特殊了？因为有了对称性，这就意味着，你在一段地方是递增的，则必定在对称的地方会递减。这便意味着，我们又可以偷懒了！好诶！

那么这么好的东西，我们如何获得呢？

这就需要我们把他变成原型，快给我变！！！

，同样的道理，k≠0 ！！！

那么我们又知道最简单的二次函数，y=x²，他的对称轴是谁？当然是0啦！000000000~

那么上面的呢？也就是括号内的值也要是变成0嘛，所以 x＝m 就是对称轴咯。

我们再稍微展开，上式也就变成了 y=kx²-2kmx+km²+n，我们再联系前面所写的，

y＝ax²+bx+c，便有了

①a = k；②b=-2km，那么很自然的得到 m = -b/2a，

我们前面又说，x=m是对称轴，从而对称轴就是 x = -b / 2a，

其他部分对着函数图像就可以得到啦！大家试试举一反三吧！

单调性：

当a>0时，函数在(-∞，-b/2a)时递减，在（-b/2a，+∞）时递增。那么当x＝-b/2a时，取到什么值？什么值？想清楚！函数先减下来，然后再增上去。

老师！是最小值！？

？

很棒！确实是最小值！

同理。

当a<0时，函数在(-∞，-b/2a)时递增，在（-b/2a，+∞）时递减。不再赘述。

那么老师，为什么a不能等于0呢？

我们不妨把a=0带入，从而y=bx+c，啊这，这不就是我们讨论的第一个函数吗？

帅啊！

废话！老师当然帅了！

于是，时光匆匆，来到了高中......

• （4）（0<a<1或a>1），指数函数

注意与幂函数 进行区分！！！

正如图像所示，一些性质跃然眼前。

首先，单调性！

当a>1时，明显函数是在上单调递增的，而当a在(0,1)范围呢？就像图像所示的，恰恰相反，单调递减。

那么老师，当a=1呢？

咱们小学二年级的时候就学过，

无论几个1相乘都是1呀！

所以这不就是常值函数 y = 1 吗？

哦！那么 a = 0 也是这样吧！那a < 0呢？

不妨我们取a = -1，

当x＝1，便得到-1，

当x = 2，便得到1，

当x = 3，便得到-1，

现在，你喜欢这种反复横跳的东西吗？！

确实！！！

另外我们又注意到，函数值始终是大于0的，那么实际上，值域就是[0,+∞)

另外一个重要的点就是，函数无论a是多少，都经过（0,1）这个定点。这是为什么呢？

我们把x带入，我们知道，任何数的零次方都是1（除了0，因为无意义）！

• （5） (0<a<1或a>1)，对数函数

学了高一数学，我们就知道对数和指数是孪生的。但这里我们便不做赘述。

但图像我们还是要记忆的！

他的单调性是与指数函数相同的。

当a>1时，在（0，+∞）递增，当0<a<1时，在(0，+∞)递减！

另外我们知道，函数的值域是，而且经过定点（1,0），不然我们咋说孪生函数啊~

（关于反函数的知识，我们以后再讲！）

那么至此，差不多都讲完了

........?

现在将高中最后一个，也是最重要、最常见的函数！

• （6）y = x + a/x（a>0），对勾函数，耐克函数

注意：必须要求a是＞0的！！！不然，不会出现这样的图像！！！（但前提是，x前面没系数，后面会提到）

此函数可以看做是 一次函数与反比例函数的组合函数，具有一些特殊性质

首先，毫无疑问，这里，函数图像在(0,+∞)这部分出现了最小值。

通过作差法，我们很容易得到极小值是出现在处，

我们有知道，x2>x1>0，从而只需要查看（x1x2-a)与0的大小关系，

很显然，我们有当时，有x1x2-a<x2²-a=( - a)=0，

也就是原式＜0，从而，

当0<x1<x2<，f（x2）<f（x1），也就是说，函数f在（0,）递减。

那么同理，当x>时，函数递增！

那么今天就说到这里吧！

随堂小练习  *-*

分析：

（1）函数必定是单调的，故有

f(1)=-1，f(3)=3    对应a>0

或者f(1)=3， f(3)=-1    对应a<0

（2）由f(1)=f(3)得出对称轴 x = 2，随后结合图像做。

凭什么说x=2是对称轴？因为在对称轴两侧是严格单调的，对于一个特定的y值，必定是严格关于对称轴对称的两个x点，不可能有其他的第三个x点

（5）函数f(x)=-2(x+4/x)，进行这样处理后，便变成了我们熟悉的对勾函数

• (7)y = x-a/x，（a>0）双刀函数

这实际上是对应着y=x+a/x，其中a<0的情况，a=0时退化为y=x。

实际上这个是与y=-1/x相似，两边分段递增的。我们以后继续讲单调性的时候再谈。

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