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第 五 章  相似矩阵及二次型

&1.向量的内积、长度及正交性

概念：

• 内积：设有n维向量

• n维向量x的长度（或范数）：令

• 规范正交基：设n维向量e1,e2,...,er是n维向量空间V的一个基，如果e1,e2,...,en两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2,...,en是V的一个规范正交基。

• 正交阵：如果n阶矩阵A满足

• 正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。

内积性质：

长度性质：

定理：若n维向量a1,a2,...,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,...,ar是线性无关。

&2.方阵的特征值与特征向量

概念：

• 特征值与特征向量：设A是n阶矩阵，如果数 λ和n维非零列向量x使关系式

    ——成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，

    ——非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

n为矩阵A的特征值为λ1,λ2,...,λn，性质：

定理：设为λ1,λ2,...,λm是方阵A的m个特征值，p1,p2,...,pm依次是与之对应的特征向量，如果λ1,λ2,...,λm各不相等，则，p1,p2,...,pm线性无关。

&3.相似矩阵

概念：

• 相似矩阵：设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使

    ——则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。

    ——对A进行的该运算称为对A进行相似变换，

    ——可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

定理：

1. 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。

2. n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

3. 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。

4. 若n阶矩阵A与对角阵

    ——相似，则λ1,λ2,...,λn即是A的n个特征值。

&4.对角矩阵的对角化

定理：

1. 对称阵的特征值为实数。

2. 设λ1,λ2是对称阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则p1与p2正交。

3. 设A为n阶对称阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。

4. 设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使

    ——其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵。

把对称阵A对角化的步骤：

1. 求出A的全部互不相等的特征值λ1,λ2,...,λs，它们的重数依次为k1,k2,...,ks（k1+k2+...+ks=n）；

2. 对每个ki重特征值λi，求方程(A-λiE)x=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量，再把它们正交化、单位化，得ki个两两正交的单位特征向量，因k1+k2+...+ks=n，故总共可得n个两两正交的单位特征向量；

3. 把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有

    ——注意Λ中对角元的排列次序应与P中的列向量的排列次序相对应。