高考数列anSn题型与变形，一步到位！|小姚老师

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数列如果出现在高考的解答题中，一般第一小问就是求解数列的通项公式，第二小问是求和。但是求解出通项公式是数列求和的基础，也就是说在这道题中，如果没有计算出第一小问的通项公式，也就没法求解第二小问的求和，这是数列解答题和其他解答题很大的一个不同。

第一类： a(n+1)=pan+f(n)

这类题型比较简单

首先观察两项的系数，这两项的系数相等，所以我们可以借鉴等差数列通项公式的推导方法—累加法求解通项公式。如：

分析：题目中的关系式中等号两边两项的系数相同，可以采用累加法进行求解。累加法求解数列通项公式的一般步骤为：

(1)将题目中的给出的两项间的关系式进行处理，等号左边写成两项之差的形式，其余部分全部移至等号右边；

(2)按照脚标从大到小的顺序写出几个关系式，最后一个关系式为a2-a1；

(3)等号左边相加得到an-a1,等号右边各项相加并求和，整理即可得到所求数列的通项公式。

题型二、a(n+1)=pan型

从本类型题目开始，相邻两项的系数不再相等，因此需要构造等比数列求解。

本类型题目也不难

借鉴等比数列通项公式的求法—累乘法进行求解

分析：累乘法求解数列通项公式的一般步骤为：

(1)对题设的关系式进行变形，等号左边写成两项之比的形式，剩下的留在等号右边；

(2)按照(1)中的形式，脚标从大到小再写几个关系式，最后一个关系式为a2/a1；

(3)等号左边相乘得到an/a1，右边进行求和，整理即可得到数列的通项公式。

题型三、a(n+1)=pan+d型（p,d为常数）

这种类型的题目，关系式中两项的系数不相同，可以构造等比数列来求解。怎么构造等比数列呢？

关系式的右边，在an后面加了一个常数d，所以我们通过在等式两边都加上某一个常那么h，即a(n+1)+h=p(an+h),使得an+h为等比数列。（待定系数法）

题型四、a(n+1)=pan+q^n型（p、q为常数且p≠1）

这类型的题目要特别注意p和q的关系。

如果p和q不相等

可以按照题型三的方法构造等比数列，因为右边是在项后面加的是q的n次方这样一个指数形式，所以在构造等比数列时也应该在两边加上的是指数形式的式子，即a(n+1)+dq^(n+1)=p(an+dq^n)

如果p和q相等

此时就不能再构造等比数列，而是要通过在等式两边同时除以q的(n+1)次方，构造一个等差数列来求解

题型五、a(n+1)=pan+f(n)型(f(n)为关于n的函数且p≠1）

本类题型和题型三、题型四属于同一类，

只是后面加的是一个关于n的函数，

所以在构造等比数列时也需要在左边加上一个关于n的函数，

保持两边形式上的一致。

前面介绍的这五种题型的递推法求解通项公式可以归位一大类—直接告诉两项间的关系，是比较常见和常考的，也是比较基础的题型，必须掌握。

下面介绍的题型可以归为另外一大类—没有直接告诉两项间的关系。这类型题目需要我们先求出两项间的直接关系，再利用前面的方法求解通项公式。

题型六、a(n+2)=pa(n+1)+qan型(p、q是不为零的常数）

这种题型虽然没有直接告诉两项间的关系

但是可以将an当成题型五中两项关系式中等号右边所加的函数

在等式左右两边同时加上san，但是和题型五不同的是a(n+1)前的系数不能再用p，而是需要另外设一个参数，即a(n+2)+sa(n+1)=t[a(n+1)+san]

再使用待定系数法求出这两个参数即可

下面有大总结！

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方法大总结啊