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(熟肉合集)多元微积分,微分部,3Blue1Brown Grant San...

2021-09-22 11:51 作者:卍Fish卐  | 我要投稿

#听课笔记


(01)



•多元函数:输入元大于一;


•等高线(以二维输入,一维输出的函数为例):拥有相同输出值的原象空间(二维平面)内的点可构成连续闭合曲线;


•参数曲面:一种二维空间内的映射(甜甜圈例:R2->R3);


•向量场:图示二维平面上的每一点对应于一个向量,后者为函数的输出值;


•使用变换的观点,只看输入空间的点如何变换到输出空间(没太明白和线性代数的关系,待续)


(02)


•数对与空间中的点的关系

前者每个数值代表在后者各维度单位长度的伸缩尺度;

数对与向量一一对应,后者图示为以空间两点为始末点的有向箭头;


(03)


•使用三维图绘制多元函数

条件是输入输出信息总共三维;


•对更高维函数的可视化方法

(1)等高线图(轮廓图)(康托图)—只看输入空间;

(2)参数函数—只看输出空间

(3)向量空间—输入、输出空间


(04)

•切片法理解多元函数

固定某一变元为常数,对于能够在三维空间中使用图像可视化的函数,图像上得到某一等值面与函数图像的相交点集


(5)

•等高线图:只在输入空间可视化多维函数的输出情况

以函数R2-R1为例,函数图像可在三维直角坐标系中表现为曲面,在输出空间的维度上等间隔固定值,得到的自变量之间的函数关系的图像集称为等高线图。

将等高线图(康托图)/轮廓线映射到输入空间的两个维度构成的平面,此时图像疏密,体现了因变量相对自变量的敏感度(空间的陡峭度)

(问:连续性如何在这种方法下描述?)


(6)

•更多函数的可视化

【参数函数】

参数与输入值,对于函数等效;

参数化曲线,以输出位二维向量空间的一元函数为例,参数化即分别求出两输出维度的值关于输入值的函数关系,这等效于原来的函数关系式(注:函数不止一种参数化的方法)


(7)

上接(6),推广到对曲面进行参数化,例如二元映射R2-R3(使用矩阵表示法)

甜甜圈为例,三维输出空间中固定一元,得圆环构形,而变动另一元则旋转得到甜甜圈模型

(接下来的问题是:参数化的过程中如何构造曲面函数)


(8)

•向量场

例如:二维向量空间到另一个二维向量空间的映射如何表述?

在输入空间内,同样以二维向量描述映射关系,图像化为直观呈现,用色谱与向量模一一对应,如上述所言的图示可以是一个流体流动的向量场模型


(9)

•使用向量场对流体建模

以二维为例:为二维输入空间内每一个点分配一个向量

【简要延伸散度与旋度的概念】向量场中点沿切向/法向的运动与疏密分布性质


(10)

•上接(9),对向量场的可视化拓展至三维情形











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