用向量法解2023全国甲卷立体几何大题，不做任何辅助线

2023全国甲卷立体几何大题有非常明显的垂直关系。用几何法求解，要求作辅助线和运用立体几何公理，对创造性要求较高，对于普通学生来说不易掌握。因此在此尝试使用向量法不做任何辅助线解决此题，从已知条件出发，运用空间向量的直线推进的思维一步一步求解未知量。

题目如下：

解答过程：

以C为原点，CA、CB、CA1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系
设AC=x0，BC=y0，则A1C=√(4-x0^2)
A(x0,0,0)，B(0,y0,0)，C(0,0,0)，A1(0,0,√(4-x0^2))
三棱柱⇒CC1=BB1=AA1=(-x0,0,√(4-x0^2))
⇒C1=(0,0,0)+(-x0,0,√(4-x0^2))=(-x0,0,√(4-x0^2))，B1=(0,y0,0)+(-x0,0,√(4-x0^2))=(-x0,y0,√(4-x0^2))
S△C1CB=1/2|CC1×CB|=1/2|(-x0,0,√(4-x0^2))×(0,y0,0)|=1/2|(-y0√(4-x0^2),0,-x0y0)|=y0
VA1-C1CB=1/6(CB×CC1)·CA1
  |0    y0  0            |
=|-x0 0   √(4-x0^2)|
  |0    0   √(4-x0^2)|
=1/6x0y0√(4-x0^2)
又有V=1/3SH
⇒H=3VA1-C1CB/S△C1CB=3*1/6x0y0√(4-x0^2)/y0=1
⇒x0=√2
(1)AC=x0=√2,A1C=√(4-x0^2)=√2⇒AC=A1C
(2)A(√2,0,0)，B(0,y0,0)，A1(0,0,√2)，B1(-√2,y0,√2)，C1(-√2,0,√2)
AA1与BB1的距离：
|AB|·sin<AB,AA1>=|AB||AB×AA1|/(|AB||AA1|)=|AB×AA1|/|AA1|
=|(-√2,y0,0)×(-√2,0,√2)|/√((-√2)^2+0^2+(√2)^2)
=|(√2y0,2,√2y0)|/2
=2
⇒y0=√3
⇒B(0,√3,0)，B1(-√2,√3,√2)
面BCC1B1的一条法向量：CC1×CB=(-y0√(4-x0^2),0,-x0y0)=-√6(1,0,1)，取n=(1,0,1)
AB1与面BCC1B1所成角的正弦值即为AB1与n所成角的余弦值：
cos<AB1,n>=AB1·n/(|AB1||n|)
=((-2√2,√3,√2)·(1,0,1))/(√((-2√2)^2+(√3)^2+(√2)^2)*√(1^2+0^2+1^2))
=-√13/13
由于二面角取锐角，故余弦值为√13/13

补充： 

关于向量的叉乘见此：https://www.bilibili.com/read/cv24313606

三向量组成的平行六面体的体积等于三向量的混合积，用的也是叉乘中出现的行列式。三向量组成的三棱锥体积是平行六面体体积的1/6。