【零基础学经济：平新乔十八讲阅读笔记Ep9】教材的一点bug：消费集模型的阐释有点问题
因为这本书对经济学专业的宝宝而言，难点应该在数学，所以，老碧决定之后采取，在文章中补充数学基础知识的形式，老碧也顺带复习数学了。
细心地同学会发现，老碧的进度卡了很久，原因在于作者对消费集性质的阐释方面，老碧想了很久，总感觉怪怪的。而“消费集”这个模型又很重要，理解清楚了这个，第一讲后面的内容都会很简单直观。
今天终于被绕晕了，去问了老碧藤校的好基友，终于确定了，这本教材，在这个定义的阐释方面，逻辑是存在一点点问题的——毕竟是介绍数学模型的书，原理方面还是应该严谨才对——老碧对逻辑不严谨的地方会很敏感，所以有的时候作者一个笔误就会让老碧纠结几个月了，感觉想不通为什么会那样。虽然，对经济学而言，只要照套路模仿就好了，但是老碧还是偏爱在学习过程中理解清楚整个思路逻辑，为了节约和老碧类似的宝宝们的时间，我们这里就来聊聊这个阐释中很小的一个bug：
首先我们前两节详细聊过，消费集的数学模型是一个n维实向量构成的集合，且集合中向量的每一个分量都是大于等于0的。
消费集满足性质“非空含0闭且凸”
“非空”——很好理解，自然状态下的人，总是要买东西的。
“含零”——则是因为，在种种特殊情况下，人可以啥都不买，比如缺钱。
“闭集”——
a.书上的解释是：消费集中所有的极限点都包含在该集之内，因此X是连续的；
——这个阐释从数学上来说，是不太正确的。
b.为了说清楚这个问题，我们先补充几个概念——
1.空间中一个子集还是个空间，零维空间是一个点，孤家寡人；一维空间是直线，反向延伸；二维空间是平面，四周延伸；……（这个子集最多是和它所在的空间相等，为了方便，我们记这个空间为大空间，这个子集为小空间）
2.以大空间里的一点（空间由点构成，如果约定了原点，点也可以表示成向量的形式）为中心，做一个小球（这个小球可以使任何维度的，三维以上的虽然无法直观想象，但是原理可以类比三维以内的球的定义），无论这个小球半径有多小，球里面都有这个点以外的点属于这个小空间——那么就说这一点是这个小空间的“凝聚点”或者“极限点”，我们发现，凝聚点不一定属于小空间——我们以一维空间来看，我们截取一个不包含端点的线段（1,3），表示1到3内的所有点，但是1和3周边截一小段（一维空间的“小球”），无论多小，都包含(1,3)内的点，所以1和3都是不属于这个线段(小空间)的凝聚点；
3.在这个小空间里面，不是“凝聚点”的点称作“孤立点”，我们按照“排中律”，试着写出孤立点的定义——因为定义“凝聚点”的条件是很严格的，它为中心的任何一个小球都得包含小空间的其他点，我们知道，任何一个表示普遍适用，不存在反例，那么在定义“不是凝聚点”的时候，我们只要强调，存在一个反例即可——以小空间内的一点为中心，做出来的小球中，有一个小球里面是不含小空间里面的其他点的（孤零零的好可怜），这点就叫做这个小空间的孤立点；
4.我们聊了“小空间”相关的小球中，“至少包含一个‘小空间’内的其他点”，“‘小空间’内的其他点一个也不包括”的类型，下面聊第三种，“小球里面所有点都是‘小空间’内的点”——如果存在一个点，以它为中心做小球，这些小球里面有一个满足刚刚提到的性质“小球里面所有点都是‘小空间’内的点”——这种点成为“小空间”的“内点”。
c.有了这三种点的定义，就可以给出其他定义了——
1.开集：只有内点的集合。
2.闭集：大空间去掉开集的那部分。
我们以一维空间为例，可以知道，所有截下来的小线段除了端点，剩下的点都是“内点”，我们取三段不含端点的线段（-1,3），（3,5），（8,9），它们都是开集，容易验证，这三个“小线段”合在一起也是开集。
那么剩下的部分包括四部分：两条含端点的射线（-∞，-1]，[9，+∞），一个包含端点的小线段[5,8]，这三部分的每一点都是聚点；以及单独的一点3，是孤立点。由此就可以知道，闭集可能包含两种类型的点：
一、聚点（极限点）；
二、孤立点。
在数学中，直线曲线才存在“连续性”，即中间不间断，如果是“平面”（二维）或“曲面”（三维），则对应的是“连通性”，或者，“道路连通性”：
a.“连通性”的意思是，不能分成两个相互独立的”开集“（或者”闭集“），这两部分都要含有至少一个元素（点）。比方说，如果一条线上面一个不含端点的小线段（1,3）是”连通的“，我们无论是从中取出一点2，还是取出一个小的闭区间[1.5，2]，剩下的都是开集，如果取出一个开集，那么取这个开集产生的端点必然属于剩下的部分，则剩下的部分就必然不是开集。
b.“道路连通”的意思是，我们在这个“面”上面任取两点，都存在一种连接方式，使得连线上面每一点都在这个“面上”。比方说，一个西瓜的表面是连通的，如果我们把西瓜切成两半，就不连通了。——直观上看，就是这个面是由几个相互独立的小面组成的。
由上面这个例子很容易看出来——包含几部分的闭集很显然不连续；
我们再看一下书上的解释是：消费集中所有的极限点都包含在该集之内，因此X是连续的——
前半句是没问题的，就是“闭集”的性质之一，不过“闭集包含所有的极限点”不等于“闭集只包含所有的极限点”，不要曲解这句话的意思；
后半句就有问题了，首先，n维向量集构成的是一个n维空间，对应的概念应该是“连通”或者“道路连通”；其次，由“包含所有极限点”无法导出“连续”（“连通”），我们还是以线段为例，闭集[1,2]和点3构成的集合是闭集，但是不连续，且包含了所有的极限点和孤立点。
实际上，X的连续性是3和4一起导出了的结论。从”闭集“中，只能导出“消费集中所有的极限点都包含在该集之内”而已。
由此性质三的意义是X包含购买产品的极端情形和边界（极限点）。
“凸集”——
书上的解释就比较清楚了：
第一个画红线的部分即为“凸集”的定义，表示“任两个消费计划的任意的线性组合仍包含在该消费集内”。即是集合内任意两点的连线都在集合内，即“道路连通”的意思。即“连续性”。
意思是，消费集包含任意一种消费类型。
到这里，就完全理解了这个模型的意义。明天我们来具体阐释，效用函数的意义！
