闲来无事——数学高中篇其一（我也不知道有没有二）20220910

2022-09-10 15:30 作者:十一维的鱼 0人读过 | 我要投稿

中秋佳节，我很闲。

说来也是有趣，本以为毕业之后就会大玩特玩，但却不想打游戏了。这算是人的奴性吗？

闲话就说到这儿，进入正题。我因为很闲所以打算写点东西，又突然想起来自己的数学物理笔记都给了学弟，所以只能从头开始，之前的积累也就当随风了吧，以后可能会在专栏写一些数学或者物理的分享，高中大学的内容都会有，就当打发时间了。

今天也是突然起兴，所以也没有什么准备便写一下今年（2022）全国乙卷的压轴题解析吧，主要是在网上看到的答案要么不是很详细，要么就是太麻烦。废话少说，先亮题。

第一问从略（这个要是不会建议重开高三）

(2)首先分析一下题目可以很快的想到要确认一下-1，0，+∞三个位置的符号，说到这大家也应该明白我要干什么了，证明零点完全可以用最简单最朴素的方法——零点存在性定理

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Af(x)%26%3Dln(1%2Bx)%2Baxe%5E%7B-x%7D%5C%5C%0A%5Clim_%7Bx%5Cto-1%7D%20f(x)%26%3D-%E2%88%9E%20%5C%5C%0Af(0)%26%3D0%5C%5C%0A%5Clim_%7Bx%5Cto%2B%E2%88%9E%7Df(x)%26%3D%2B%E2%88%9E%0A%5Cend%7Baligned%7D$

那么这样也就能够画出简易的符合题意的图像了

显而易见我们可以发现0处的导数一定是小于或等于0的

即 $f%5E%7B'%7D(0)%5Cleq%200$

上图看着可能有点误导，我们来一张局部放大图，dark！dark!

这样是不是就清晰可见了呢，每一个小数都看得非常清楚，0处的导数也是那么的显然

至于这个推论是怎么来的可以自己画一下图，很好想

那么我们继续操作

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Af%5E%7B'%7D(x)%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D-axe%5E%7B-x%7D%2Baxe%5E%7B-x%7D%5C%5Cf%5E%7B'%7D(x)%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D-a(x-1)e%5E%7B-x%7D%5C%5Cf%5E%7B%E2%80%98%7D(0)%26%3D1%2Ba%5C%5Cf%5E%7B'%7D(0)%26%5Cle0%5C%5Ca%26%5Cle-1%0A%5Cend%7Baligned%7D$

想来大家会有点奇怪，你这个出来坑蒙拐骗的，答案明明没有等号，你连题都做不对还出来讲题，rnm，退钱！

大家别急，虽然经过我们前面的推理没有办法排除取等情况，但游戏还没有结束，正戏刚刚开始！

首先我们探究一下取0时图像是什么样子

形状参考一下就行了，能力有限实在画不出来完美图像（要什么自行车）

总之通过上图我们也就有个排除等号的思路，只要证明函数在（-1，0）上只有一个极值点，也就是导数只有一个零点就好了（胜利的法则已经确定，开始敲代码！）

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Af%5E%7B'%7D(0)%26%3D0%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D%26%3Da(x-1)e%5E%7B-x%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7Da%26%3D%5Cfrac%7Bx%5E2-1%7D%7Be%5Ex%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D$

由之前求得的a的范围可知下面只要证明右式在[-1，0)上无论y取何值都只有两个交点那么我们就只需要研究x取(-1,1)区间内y的值

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ag(x)%26%3D%5Cfrac%7Bx%5E2-1%7D%7Be%5Ex%7D%0A%5C%5Cg%5E%7B'%7D(x)%26%3D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B2x%2B1%7D%7Be%5Ex%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$