海伦公式与秦九韶三斜求积公式

2023-05-24 15:13 作者:wwj007890 0人读过 | 我要投稿

高中数学(必修5)第一章解三角形讲到利用三角形的三个边求面积的问题时,在"阅读与思考"中介绍了古希腊数学家海伦(Heron)和我国南宋著名数学家秦九韶（约1202－1261），因为他们两人都给出了利用三角形的三边直接求三角形面积的公式。前者给出的公式叫“海伦公式”

$S%3D%5Csqrt%7Bp(p-a)(p-b)(p-c)%7D%20$ ，其中 $p%3D%5Cfrac%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B2%7D%20$

而后者在《数书九章》中给出的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式，就是

$S%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ba%5E2c%5E2-(%5Cfrac%7Ba%5E2%2B%20c%5E2-b%5E2%20%20%7D%7B2%7D%20%20)%20%5E2%20%20%5D%20%7D%20$ ,

称为"三斜求积"公式,它虽然与海伦公式形式上不一样,但两者是完全等价的,实质是一样的.

笔者给出二者等价的证明如下:

∵ $p(p-a)(p-b)(p-c)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%20(a%2Bb%2Bc)(b%2Bc-a)(c%2Ba-b)(a%2Bb-c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%20%5B2ac%2B(a%5E2%20%2Bc%5E2-b%5E2%20)%20%5D%5B2ac-(a%5E2%2Bc%5E2-b%5E2%20)%20%20%5D$ $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%20%5B(a%2Bc)%5E2-b%5E2%20%20%5D%5Bb%5E2-(a-c)%5E2%20%20%5D$ (*)

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%20(2ac%2B2ac%5Ccos%20B%20)(2ac-2ac%5Ccos%20B)$

(∵根据余弦定理有 $a%5E2%2Bc%5E2-b%5E2%3D2ac%5Ccos%20B%20$ )

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20a%5E2c%5E2(1%2B%5Ccos%20B%20)(1-%5Ccos%20B%20)$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20a%5E2c%5E2%5Csin%5E2B%20%20%20%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dac%5Csin%20B%20%20)%5E2%20$

∴ $S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20ac%5Csin%20B%20$

而 $%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ba%5E2c%5E2-(%5Cfrac%7Ba%5E2%2B%20c%5E2-b%5E2%20%20%7D%7B2%7D%20%20)%20%5E2%20%20%20%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Bac%2B%5Cfrac%7Ba%5E2%2B%20c%5E2-b%5E2%20%20%7D%7B2%7D%5D%5Bac-%5Cfrac%7Ba%5E2%2B%20c%5E2-b%5E2%20%20%7D%7B2%7D%5D$ $%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%20%5B2ac%2B(c%5E2%2Ba%5E2-b%5E2)%5D%5B2ac-(c%5E2%2Ba%5E2-b%5E2)%5D$