【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第二章三角形——等腰三角形

§2-6等腰三角形性质在作图上的应用

【01】我们在前面几节里已经学了一些画几何图形的方法。应用等腰三角形的性质，我们还可以用圆规和直尺来作出几何图形。

1、平分一条线段 AB

【02】如果我们把线段 AB 看做是两个等腰三角形的公共底边，向两侧各作一个等腰三角形，再连结它们的顶点的线段，那么根据等腰三角形性质定理3，就可以得到线段 AB 的平分点。

【作法】

        以 A，B 为圆心，用大于 AB 的长为半径，分别画弧，得到两个交点 E 和 F（图2·29）【如果用小于 AB 的长为半径分别画弧就得不到交点】。

        连结 EF，那么 EF⊥AB，并且平分 AB，即 AM＝MB  。

        象这条直线 EF 垂直且平分 AB 线段，这直线叫做这条线段的垂直平分线。其中点 M 是 AB 的中点。

【注意】图上的虚线是为了说明画法，如果只要求线段 AB 的中点，连 EF 直线也不必画出，画出一点 M 就最可以了。本题的作法，不仅可以求得线段的中点，还可以求得线段的垂直平分线。

2、平分一已知角 A

【03】平分一已知角，也就是画出已知角的角平分线。前面已经学过用量角器或折纸的方法画角的平分线，现在我们用直尺和圆规来画角的平分线。把已知角 A 当作等腰三角形的顶角，它的作法如下：

【作法】

        以 A 为圆心，任意长为半径画弧，和角 A 的两边 AB，AC 分别相交于 E，F  。

        再以 E 和 F 为圆心，大于 EF 的一半之长为半径，分别画弧，得交点P  。

        连结 AP，则 AP 就是要作的 ∠A 的平分线（图2·30）。

【注意】EP＝FP，也就是以 E 和 F 为圆心画弧时，这两个半径必须相等。

3、过直线外（或者直线上）的一点，画这直线的垂线

【04】我们可以把这点当作等腰三角形的顶点（或者底边上的中点)，就可得到下面的作法。

【作法】

        以 P 为圆心，取一适当的长度为半径画弧，使能与直线 AB 交于两点 E，F，再以 E 和 F 为圆心，大于 EF 的一半之长为半径分别画弧，得交点 Q  。

        连结 PQ 直线，就是所要作的垂线（图2·31）。

【05】注意本节所叙述的作图方法，是只用直尺和圆规这两种工具来完成的作图法，我们称它为尺规作图法。在尺规作图里，可以利用直尺（不用它的刻度）和圆规这两种工具进行下面的简单作图： 

        1.通过两已知点可画一条直线一一用直尺。

        2.已知圆心和半径可画一个圆一用圆规。

        3.画两已知直线、一已知直线和一已知圆或两已知圆；如果相交，则可求它们的交点——用直尺和圆规。

【06】这些简单的作图，可以表示如图2·32  。

【07】我们约定，用上述的这些简单作图，经过有限次能够作出的图形，叫做尺规作图可能问题。否则就叫做尺规作图不可能问题。但是，在实际生产中的作图，为了省事和减少误差，人们还创造了一些作图的辅助工具，例如有刻度的直尺、三角板、丁字尺，量角器等等。

习题2-6

1、任意画一条线段，用圆规和直尺把它 4 等分。[提示二等分后再二等分]

2、任意画一个三角形，用圆规和直尺画它的三条边的垂直平分线。

3、画一钝角三角形，用圆规和直尺画出它的三条高。

4、任意画一个角，再把它 4 等分。