一个平面是否能同时平分三个立体图形？

如果三个立体图形都是球体，由于球体的超对称性，任意过球心的平面都可将此球体平分，故对于三个球体，连接三个球心构成的平面即符合要求。

但对于任意立体图形，问题变得复杂。

先考虑二维情况——一条直线是否能同时平分两个平面图形？当平面图形是圆、正方形、长方形、平行四边形、乃至偶数条边的正多边形，都可以连接这两个图形的重心获得这条直线，三角形的对称性不够。

换种思路，在极坐标系中，任意一条直线可由r和α确定。固定α，改变r（在这里r可以是负值）获得一组平行线，总有一个r值可平分第一个平面图形。对于不同α，都必有r可平分第一个平面图形。用P(r,α)表示平分第一个平面图形的直线，r和α是连续变化的，即α微调，则r微调，反之r微调，则α微调。注意，这种定义使得直线有上方、下方之分——α由正变为负，方向相反。

接下来需要一个引理——一个圆形材料，密度连续变化，则必有一组对径点（直径的两端），两处密度相等。

其实是否为圆形材料不重要，只要是闭合曲线材料，且密度连续变换，结论依旧。利用这个结论，将引理中P点坐标由(x,y)换成(r,α)，ρ(P)含义改为第二个平面图形在直线上方的面积。则在满足平分第一个平面图形的所有直线中，必有一组对径点使得第二个平面图形面积平分（即有两条直线满足要求，其实是同一条直线，方向相反）。

对于三维情况，任意平面可由r、α、β确定，需要的引理升级为——在地球上，必有一组对径点，两处温度、压强均相等。这里的隐含条件是地球表面温度、压强均连续变化。这里比较抽象，最后一张图有思维跳跃，仅为示意图，严谨数学证明用到拓补学。赤道上一圈P点对应的G(P)闭合曲线，包围(0,0)点或经过(0,0)点），二者必居其一，这是因为赤道上的P点是一组组对径点，必满足G(P')=-G(P)。

有了这个引理，将P(x,y,z)换成满足平分第一个立体图形的截取平面P(r,α,β)，将T温度(P)和p压强(P)改为第二个、第三个立体图形在截取平面上方的体积即可。

本问题来自一个生活中实际问题——火腿三明治包含面包、火腿、蔬菜，并非以同样形式均匀分布，是否一刀可将这三者同时平分。推广可得结论——n维空间中有n个n维立体图形，必有一个n-1维平面可同时平分这n个n维立体图形。