[CH12下]电子动力学的半经典模型

2023-03-22 15:51 作者:啊呜西呜安 0人读过 | 我要投稿

接[CH12上]

我们可以根据加速度和 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 之间的夹角大于还是小于90度来确定粒子呈现正电荷还是负电荷的运动行为。由于 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5Ctextbf%7Ba%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Ctextbf%7Bv%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Csum_%7Bij%7D%5Cdot%7Bk%7D_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k_i%5Cpartial%20k_j%7D%5Cdot%7Bk%7D_j%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.18%7D$

所以 $a%5Ccdot%20%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 为负的充要条件是

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Csum_%7Bij%7D%5CDelta_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20k_i%5Cpartial%20k_j%7D%5CDelta_j%3C0%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.19%7D$

$m%5E%5Cstar$ 称为空穴有效质量，或者有效质量张量：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5BM%5E%7B-1%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5D_%7Bij%7D%3D%5Cpm%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20k_i%5Cpartial%20k_j%7D%3D%5Cpm%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v_i%7D%7B%5Cpartial%20k_j%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.20%7D$

这里符号“+”或者“-”表示“空穴”或者“电子”。由于

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5Ctextbf%7Bv%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cpm%20M%5E%7B-1%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.21%7D$

公式(12.21)可以写为

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AM(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctextbf%7Ba%7D%3D-%5Cpm%20e(%5Ctextbf%7BE%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.22%7D$

质量张量在决定位于各向异性极大值附近的空穴(或者位于各向异性极小值附近的电子)的动力学行为起着重要作用。若空穴(电子)的波包足够小，人们可以用它在最大处的值替换质量张量，从而得到一个线性方程，只比自由粒子的方程稍微复杂一点。有效质量不同于裸质量，它概括了晶格内部周期场的作用，使我们能够简单用外场决定电子的加速度。

均匀磁场中的半经典运动

获得金属和半导体电子特性的重要来源之一就是通过测量它们在均匀磁场中的各种响应。均匀磁场下半经典方程可以写作，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D%26%3D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E(%5Ctextbf%7Bk%7D)%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%2C%5C%5C%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D-e%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)%5Ctimes%5Ctextbf%7BH%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.23%7D$

从公式(12.23下)可以看出，波矢 $k_z$ 在沿磁场方向为常数，即在z方向上 $dk_z%2Fdt%3D0$ 。并且，由于 $%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D$ 在z方向上为0，这也相当于 $dE(%5Ctextbf%7Bk%7D)%2Fdt%3D0$ 。所以，电子在k空间内总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动，如图1所示。

电子的速度 $%5Ctextbf%7Bv%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 部分取决于能量求k的梯度，见公式(12.23上)。现在我们对公式(12.23下)两边同时乘以 $%5Chat%7BH%7D$ ，注意这里的H只是一个表示磁场方向的单位矢量。公式(12.23下)变为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chat%7BH%7D%5Ctimes%20%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D-%5Cfrac%7BeH%7D%7Bc%7D(%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D-%5Chat%7BH%7D(%5Chat%7BH%7D%5Ccdot%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D))%5C%5C%0A%26%3D-%5Cfrac%7BeH%7D%7Bc%7D%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.24%7D$

公式(12.24)右边磁场的单位矢量 $%5Chat%7BH%7D$ 点乘速度 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D$ 再乘以单位矢量 $%5Chat%7BH%7D$ 相当于把平行于磁场方向的速度筛选出来，再用速度 $%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Br%7D%7D$ 减去平行于磁场方向的速度则得到了垂直于磁场方向的速度。根据公式(12.24)我们还可以得到，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp(t)-%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp(0)%3D-%5Cfrac%7B%5Chbar%20c%7D%7BeH%7D%5Chat%7BH%7D%5Ctimes(%5Ctextbf%7Bk%7D(t)-%5Ctextbf%7Bk%7D(0))%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.25%7D$

由于叉乘相当于第二个矢量旋转90度，所以我们认为实空间的轨道在垂直磁场的平面投影就是k空间的轨道旋转90度并乘上因子 $%5Chbar%20c%2FeH$ ，见图2.

这里指出，自由电子时 $E%3D%5Chbar%5E2k%5E2%2F2m$ ，等能面为球面，所以平面和等能面的交线为圆，一个圆旋转90度仍然是圆。圆周运动的周期为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7Ddt%3D%5Cint_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_1%7D%5E%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_2%7D%5Cfrac%7Bdk%7D%7B%7C%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%7C%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.26%7D$ 根据公式(12.23)，公式(12.26)可以化为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2c%7D%7BeH%7D%5Cint_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_1%7D%5E%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_2%7D%5Cfrac%7Bdk%7D%7B%7C(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)_%5Cperp%7C%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.27%7D$ 这里 $(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)_%5Cperp$ 为 $(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 垂直于磁场的分量。若令 $%5CDelta%20(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 为在轨道平面上在 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 点与轨道垂直并连接 $%5Ctextbf%7Bk%7D$ 点和同一平面上能量为 $E%2B%5CDelta%20E$ 的等能轨道的矢量，见图3。由于 $%5CDelta%20E$ 非常小，有

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CDelta%20E%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ccdot%20%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%20%7D%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Cright)_%5Cperp%20%5Ccdot%20%5CDelta%20(%5Ctextbf%7Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.28%7D$

此外，由于 $(%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D)_%5Cperp$ 和 $%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D$ 平行，所以公式(12.28)可以写为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CDelta%20E%3D%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%20%20%20%5Cright)_%5Cperp%5Cright%7C%5CDelta%20%5Ctextbf%7Bk%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.29%7D$

公式(12.27)重新写为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20c%7D%7BeH%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta%20E%7D%5Cint_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_1%7D%5E%7B%5Ctextbf%7Bk%7D_2%7D%5CDelta(%5Ctextbf%7Bk%7D)dk%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.30%7D$

$%5Cbegin%7Balign%7D%0At_2-t_1%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20c%7D%7BeH%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_%7B1%2C2%7D%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.31%7D$

这里A表示从波矢1到2和 $%5CDelta%20(%5Ctextbf%7Bk%7D)$ 所围成的面积。这时，若令 $%5Ctextbf%7Bk%7D_1%3D%5Ctextbf%7Bk%7D_2$ ，则 $t_2-t_1$ 表示轨道的周期T。若A是k空间的闭合区域，则

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AT(E%2Ck_z)%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20c%7D%7BeH%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20E%7DA(E%2Ck_z)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.32%7D$

自由电子的情况下则为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AT%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Comega_c%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20mc%7D%7BeH%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.33%7D$

回旋有效质量可以定义为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0Am%5E%5Cstar%20(E%2Ck_z)%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A(E%2Ck_z)%7D%7B%5Cpartial%20E%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.34%7D$

这里强调，这里的有效质量不一定等于我们之前定义的有效质量。

均匀电场和磁场中的半经典运动

若在静磁场的基础上再加上一个静电场，公式(12.25)需要增加一个额外项，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp%20(t)-%5Ctextbf%7Br%7D_%5Cperp(0)%26%3D-%5Cfrac%7B%5Chbar%20c%7D%7BeH%7D%5Chat%7BH%7D%5Ctimes%20%5B%5Ctextbf%7Bk%7D(t)-%5Ctextbf%7Bk%7D(0)%5D%2B%5Ctextbf%7Bw%7Dt%2C%0A%5C%5C%5Ctextbf%7Bw%7D%26%3Dc%5Cfrac%7BE%7D%7BH%7D(%5Chat%7B%5Ctextbf%7BE%7D%7D%5Ctimes%5Chat%7B%5Ctextbf%7BH%7D%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.35%7D$

所以，在实空间中垂直于磁场方向的运动是k空间轨道旋转和缩放的叠加，并且以速度 $%5Ctextbf%7Bw%7D$ 进行漂移。

为了确定k空间的轨道，我们注意到E和H垂直时，公式(12.1)可以写为，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Chbar%5Cdot%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%26%3D%20-%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Coverline%7BE%7D%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bk%7D%7D%5Ctimes%20%5Ctextbf%7BH%7D%2C%5C%5C%0A%5Coverline%7BE%7D%26%3DE(%5Ctextbf%7Bk%7D)-%5Chbar%5Ctextbf%7Bk%7D%5Ccdot%5Ctextbf%7Bw%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B12.36%7D$