数列求和不等式的本质探索

引例：尝试证明一个（很紧的）不等式

我们一般需要通过数学归纳法寻找一个充分条件（本质上是一种构造）：

最下面那一行式子表示 n-1 到 n 的时候不等式左右两边的变化量大小关系，这种情况下随着 n 的增大，要证的式子始终成立：

我们可以用对数均值不等式来证明：

这一类的不等式根本上是通过欧拉-麦克劳林公式进行积分上的放缩：

• 与求和相对应的积分（离散 - 连续）
• 修正项（去掉就得到大小关系）

事实上，我们用 E-M 公式一般是在分析渐进行为，而当我们去估计余项时，这种方法并不比数学归纳法简单。