高斯白噪声信道下对数似然比的推导---8PSK

（基于本文录制了三个小视频：

第一个视频对应信道和噪声的讲解  https://www.bilibili.com/video/BV1De411T7RH/

第二个视频对应 8-PSK 的对数似然比推导 https://www.bilibili.com/video/BV1w14y1v7me/

第三个是 log 近似计算  https://www.bilibili.com/video/BV1fY4y1K7Ga/

）

在通信系统中，我们经常需要计算 LLR（Log Likelihood Ratio）对数似然比，尤其是在信道译码采用软译码的时候。这个小文章，就来推导一下在不同调制下，如何根据接收到的信号，计算 LLR，我们主要讨论 三种调制：BPSK, QPSK, 8-PSK.

我们先讲 QPSK 的，这个比较有代表性，简化后就是 BPSK，进一步扩展就是 8-PSK.

一组 0 和 1 组成的序列，经过 QPSK 编码后变成一个复数，每两个比特调制成一个复数.
经过高斯白噪声信道传输，这里我们把实部和虚部看成是分别独立传输的，分别加上独立的高斯白噪声的干扰。（注 1：实际上是实部和虚部在相同的信道上传输，只是由相互正交的高频信号做载波发送的，可以看成是分别传输的
注 2：实部我们称之为 in-phase，用 I 做下标，虚部我们称之为 quadrature，用 Q 做表示）。

通信系统中，我们关心的是在收到信号 y 的情况下，判断发送方发送的比特是 1 或者 0 的概率，可以表示成  p(b=0|y)  和 p(b=1|y).

很多情况下，我们关心两者的比值，因为如果  p(b=0|y)  大于 p(b=1|y)，我们就有理由可以判断 b=0，否则，我们更倾向于判断 b=1.  用比值来表示就是：


为了更简化一些运算（后面会解释），一般还要再取对数，即：

那么判决准则为：

接下啦我们把上面的比值，做一下推导，推导出似然比的形式，因为  p(y|b) 的形式，称之为似然函数，而 p(b|y) 一般称之为后验概率。

先对 p(b|y) 做一下推导：


则：


上式推导的最后一步，我们是假定发送数据是 0 还是 1 的概率是相等的，都是 0.5，这个假定大部分情况下都是成立的，在数据生成的阶段，一般都有一步做 伪随机化，即让 0 和 1 出现的数量是相等的。

则上面公式的最后结果，我们称之为 对数似然比 Log Likelihood Ratio (LLR)  。

我们实际上关心的是后验概率的对数比值，但是，在在 0 还是 1 的概率是相等的假设前提下，其实是与对数似然比等同的，所以，后面我们就直接推导对数似然比的具体表达式了。

均值为 0 方差为 的白噪声，符合以下公式的高斯分布：

则如果发送的是 x 收到的是 y 的概率就是：

8-PSK 下，三个比特调制为一个复数，我们把这连个比特记为  ，调制后的符号记为 ，接收到的复数信号为 .

映射关系如下图所示：

令：

映射关系为：


"8-PSK" 下要分别求:

（一）

下面来分析，如何计算  的对数似然比，即：

所以，需要分别求出来  和 。

我们分析其中一个，另外一个是类似的。
有四种情况：

 有四种情况：

则这个比值：

分子和分母都无法提取出一些公因式可以约掉的了，因此，就不能化简成一个简单的表达形式了。

下面来分析，如何计算  的对数似然比，即：



所以，需要分别求出来   和 。

我们分析其中一个，另外一个是类似的。

有四种情况：

有四种情况：

（三）

下面来分析，如何计算  的对数似然比，即：

所以，需要分别求出来   和
我们分析其中一个，另外一个是类似的。

 有四种情况：

 有四种情况：

 log 指数的近似定理

定理： 

因为

所以

最后可以推导一个近似公式：

推而广之