定积分性质5的推论及证明

牛顿348、定积分性质5的推论及证明

 

2010-09-06，网友“ecionaeli”上传名为《定积分的性质》的文档。

…定，积、分、积分，定积分：见《牛顿337~345》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

（…《欧几里得》：小说名…）

文档内容：… 

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

性质5的推论：

…性质5：见《牛顿347》…

…推、论、推论：见《欧几里得66》…

（1）如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x），

则∫[a，b]f（x）d（x）≤∫[a，b]g（x）dx。

 

证 ∵ f（x）≤g（x）

∴ g（x）- f（x）≥0

 

∴ ∫[a，b][g（x）-f（x）]dx≥0

{定积分性质5、如果在区间[a，b]上，f（x）≥0，则∫[a，b]f（x）dx≥0。

证明见《牛顿347》}

 

∴ ∫[a，b]g（x）dx-∫[a，b]f（x）dx≥0

{定积分性质2、∫[a，b][f（x）±g（x）]dx=∫[a，b]f（x）dx±∫[a，b]g（x）dx。

证明见《牛顿344》}

 

于是∫[a，b]f（x）d（x）≤∫[a，b]g（x）dx。

…∫：积分符号，为为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

“推论2：|∫[a，b]f（x）d（x）|≤∫[a，b]|f（x）|d（x）

 

请看下集《牛顿349、证明定积分性质：|∫[a，b]f（x）d（x）|≤∫[a，b]|f（x）|d（x）》”

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