题目:如图1,△ABC内接于圆O,P为弧BC上一点,点K在线段AP上,BK平分∠BAC,过K,P,C三点的圆Ω交BC于点D,连接BD交圆Ω于点E,连接PE并延长,与AB边交于F

求证:∠ABC=2∠FCB 

思考过程:题目给的核心条件是角平分线和共圆 显然,倒角是更好做的解题路径 因此,连接BP,CP 

如图2

观察猜想,B,K,L三点共线 如果这三点共线的话,那么∠FLB=∠APC=∠ABC

结合BK角平分线可知∠ABC=2∠FCB

那么,只要证明B,K,L三点共线即可

可以考虑证明∠KLF=∠BLF ∠KLF可以与K,L,C,P四点共圆建立联系

(∠FLK=∠APC=∠ABC)

∠FLB则可以考虑利用相似三角形来转移角,证明△FLB与△FBC相似

要证明它,只需要证明FB^2=FL*FC 而FL*FC=FE*FP

可知FB^2=FE*FP 即△FBE相似于△FPB 

那么,只需要找到两组三角形中的一对等角即可

显然,∠FBP=180°-∠DCP=∠DEP=∠FEP

至此,一个回路接通了

下面,给出证明过程

证明:

设FC∩圆Ω=L,联结KL,BL

∵K,L,C,P四点共圆,A,B,C,P四点共圆

∴∠FLK=∠APC=∠ABC,∠FBP=180°-∠DCP=∠DEP=∠FEP

又∵∠BFP=∠BFP

∴△FEB∽△FBP

∴BF^2=FL*FC=FE*FP

又∵∠BFL=∠BFL

∴△FBL∽△FCB

∴∠FLB=∠FBC=∠FLK

∴B,K,L三点共线

∵BK是角平分线

∴∠FCB=∠FLB-∠LBC=∠FBC-∠LBC=∠LBC=1/2∠ABC

即∠ABC=2∠FCB

几何图像网址:https://www.desmos.com/geometry-beta/bff3h5feo8?lang=zh-CN

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