高中知识点学习——有手就行的三角形中的的各种“心心”

许多同学在学习平面向量的时候，总会遇到三角形的各种“心”，但是你们又分不清楚这些“心”，今天本督给你们简单的聊聊三角形的这些“心心”，并且在平面向量中有哪些重要结论，以后拿来直接用就行

如果有用，直接点赞加关注……

一、三角形的重心：三角形三条中线的交点

（1）重心O是每条中线的三等分点，即AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF

接下来给你证明：

过C点作CP//BE，交AD延长线于点P

所以就有△BOD≌△CPD

所以OD=DP

又因为OE//PC，E是AC的中点

所以OE是△APC的中位线

O是AP中点，OA=OP

因为OD是OP的一半，所以OD也是OA的一半

所以OD:OA=1:2

剩下的两条边同理可证

用到了初中全等三角形的知识，这不有手就行？

（2）如果O是△ABC的重心，那么向量OA+向量OB+向量OC=0向量

逆命题也成立。

下面证明一下：

（3）如果将△ABC放入平面直角坐标系，那么

二、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心

（1）外心O到三角形每个顶点的距离都相等，并且均为三角形外接圆的半径

即OA=OB=OC=r

你要问我r怎么求，呵呵，你学过正弦定理吗？

知道r是嘛玩意儿么？对，就是外接圆的半径，不是有手就行？

（2）如果O是△ABC的外心，那么

式子都一样，只说第一种证明

（3）如果O是△ABC的外心，那么

式子都一样，只说第一种证明

（4）如果△ABC放入平面直角坐标系，那么外心O的坐标依然可以求

一种思路是设外心坐标为(x,y)，然后利用到顶点的距离相等，根据两点间的距离公式，列出方程组解出x,y，可以，不过计算量比较大，你是那种算题咔咔咔能算一页草稿纸的人，我也不拦着你好吧。

另一种思路是

利用两条垂直平分线的直线方程，联立求交点坐标。虽然也是解方程组，不过它没有平方的介入，导致过程会稍微简单一点。

求垂直平分线的直线方程，只需要

①先求出一条边的中点坐标，

②利用垂直求出它的斜率，

③利用点斜式求出垂直平分线的直线方程，即可

三、三角形的垂心：三角形三条高的交点

如果O是△ABC的垂心，那么

证明过程同样类似，只说前两个式子为什么相等

四、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心

（1）三角形的角平分线定理1：

在△ABC中，如果AD是∠BAC的平分线，那么

下面给出证明：（有手就行）

过点C作CP//AB，交AD延长线于点P

所以“8”字型，△ABD∽△PCD

所以AB:PC=BD:DC

因为∠1=∠2，∠1=∠P

所以∠2=∠P

所以△APC是等腰三角形，

所以AC=PC

所以AB:AC=BD:DC

（2）三角形的角平分线定理2：如果AD是△ABC的角平分线，那么

或者也可以写成

（3）内切圆的半径

假设内切圆的半径为r，△ABC的面积为S，那么

其中L表示△ABC的周长

（4）如果O是△ABC的内心，那么

下面证明它一下：

根据角平分线定理1：

再利用一遍角平分线定理1：

在△ABD中，

所以：

有没有发现红色部分，都是刚才的结论？全是0吧，所以证完了

以上就是三角形的各种心在平面向量中的应用，当然三角形还有其他心，但是平时用得少，甚至用不到，除了装杯以外，没啥卵用。这些足够你应付平时的习题了。

还是那句话，如果对你有用的话，点赞关注就完事了

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