2023数分Day3（单调有界定理）+强化1.3+强化2.2Taylor定理部分

一、整体感受：有技巧

二、需要复习的

1、连续函数介值定理以及零点定理

2、单调函数定义以及严格单调函数定义

3、对于数列奇次项和偶次项都收敛于同一极限时，an收敛

4、反证法的灵活运用

5、一些函数放缩技巧，比如tanx≥x,x∈（0，π/2）等

6、Taylor定理，在求解Stolz公式有应用，Day5会具体讲怎么用Stolz公式的

三、具体题目

1【西安交大】

当了解清楚对于数列奇次项和偶次项都收敛于同一极限时，an收敛，分别去证奇次项和偶次项收敛于统一极限。

具体做法：

一问：

①先用数学归纳法把xn范围框定在【0，1】

②再利用题干xn+1=cosxn，递推出来xn+2=cos(cosxn)，利用cos(cosx)在【0，1】上的单调递增性，且x1<x3,可以得到cos(cosx1)≤cos(cosx3)，即x3≤x5；以此类推得到x2n-1≤x2n+1，说明{x2n+1}单调递增.

③利用cosx在【0，1】单调递减，然后得到cos(x1)>cosx(x3),即x2>x4，以此类推得到x2n>x2n+2，所以｛x2n｝单调递减；

二问：

作为子列单调有界必然收敛，不妨记两个极限为a,b，然后利用极限性质，得到cos(cosb)=b,cos(cosa)=a；

观察上述等式，不妨记一个函数F（x）=x-cos（cosx），求导得到一阶导大于0，然后0和1的端点处取值一个<0,一个>0，利用介值定理以及严格递增，说明存在唯一的x0使得F（x0）=0，同时满足这个式子的还有a和b，但由于唯一性，说明x0=a=b，由于数列奇次项和偶次项都收敛于同一极限x0，所以该数列｛xn｝收敛

注：第二问中代入0和1的端点值到F（x）中发现一大一小是关键一步！！！

【补充】题1的2个变式，一个把cosx换成sinx，一个把cosx换成arctanx做，思路是一样的。过程中可能用到三角函数的一些放缩技巧来做，以及两道变式的第3问用到了Stolz公式以及Taylor展开，在之后会详细展开，这里只要知道如何用即可。

2【暨南大学】

先对函数关于x求导，发现在x取值范围上连续且严格单调递减，然后代入端点值0和π/3，发现一个大于等于1，一个小于1，然后利用连续函数的介值定理，得到唯一的xn在给定x范围上取值为f(xn)=1;

接下来验证｛xn｝单调递增，利用反证法，假设它单调递减做，利用1=fn(xn)<fn+1(xn+1)=1，利用1<1矛盾，所以得到｛xn｝单调递增。

结合单调递增有上界，得到收敛，记为a，然后代入xn到fn(x)中，得到等比数列求和，然后利用迫敛性求出（cosxn）^(n+1)极限为0，得出cosa=1/2,a=π/3.

【补充】题2也有两个变式，把cosx换成sinx和x了，证明思路类似，好好练习。

3【中国科学院大学】（这道题22+23华东也考了）

证明思路：利用单调有界，先去说明单调再去说明有界性，

利用了一个重要不等式1/（n+1）<ln(1+1/n)<1/n，这个重要不等式可以通过拉格朗日中值定理推，记f(x)=lnx即可

V.S.2022华师就记了f(x)=lnx，2023华师将数列极限与数项级数也巧妙结合了一下，可以好好尝试一下

【补充，本题原型，利用单调递减以及积分第一中值定理，不同题目可以取不同的f(x)，题3取的f(x)就是1/x】

4【北京邮电大学】

一问：利用先求导，发现一阶导大于0，说明连续且严格单调递增，然后再利用两个端点一个≤1，一个>1，然后利用连续函数的介值定理可以得到唯一的xn在x范围中的fn(xn)取值为1；

二问：思路同题2，利用fn(xn)=fn+1(xn+1)=1,想去说明xn单调递增，但是用反证法，假设xn+1≤xn，1/2≤xn+1≤xn<1，发现xn^n≥xn+1^n>xn+1^(n+1)，那么此时xn^n+xn>xn+1^(n+1)+xn+1，于是1>1,矛盾，因此｛xn｝单调递增，于是把极限a设出来，这个a∈【1/2，1】,想要去证明极限a=1,不妨反证，假设a<1，然后取极限推出了a=1，矛盾.因此a只能为1

四、2022-2023华师三道真题