很水的数学分析096：第二积分中值定理

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1.第二积分中值定理Ⅰ。

证明核心思路同第一积分中值定理，构造连续函数φ(x)=g(a)∫⁽ᵃ,ˣ⁾f(t)dt，则根据介值定理，必存在ξ，使得φ(ξ)取到minφ(x)和maxφ(x)之间的任一值。

因此只需证明minφ(x)≤∫⁽ᵃ,ᵇ⁾f(x)g(x)dx≤maxφ(x)

为此先作[a,b]的分割，把∫⁽ᵃ,ᵇ⁾f(x)g(x)dx写成级数形式，然后分成两部分I₁和I₂。（找到合适的分法是本证明中最难的部分）

∫⁽ᵃ,ᵇ⁾f(x)g(x)dx=lim∫⁽ᵃ,ᵇ⁾f(x)g(x)dx=limI₁+limI₂（这里lim不是真正的极限）

I₁正好凑成K∑ωi(xi–xi–1)（ωi为g在分割小区间的振幅）

g可积，故‖π‖→0时，I₁→0

I₂中把g(xi–1)视作bi，∫(xi,xi–1)f(x)dx视作ai

Sk=∑ai有最大、最小值

用Abel分部求和公式知I₂的表达式

根据Sk的取值范围得知I₂的取值范围

于是可得结论

2.第二积分中值定理Ⅱ

令G(x)=g(x)–g(b)

把G(x)代替第二积分中值定理Ⅰ中的g(x)则得到第二积分中值定理Ⅱ。

从几何意义看，是曲边梯形面积用两个矩形的面积表示。

3.命题1.35

拓宽到A≥g(a+)的情况，定义g(x)弯即可证明