大学物理(光学)知识梳理与例题选讲:§03 光的干涉(2)

空间相干性

# 空间相干性
在偏移量的研究中,希望光源为点光源

## 有宽度光源的处理
### 点光源的叠加
#### 普通光源发光原理
微光课题的发光过程有:
- 自发辐射
- 受激辐射
普通光源(非激光光源)以自发辐射为主,时一种随机过程,其发光的相位差大多数为完全随机 ——摘自《新概念物理教程.光学》-赵凯华.2004. P111
在原子层面上,光的来源于能级跃迁

因此光辐射之间相互独立且随机,从而相位差为一个完全随机的
在有宽度光源上任取两个点,二者之间的的相位没有关联(这里不考虑相关的影响,其难度较大)

#### 两点点光源的叠加的影响因素

可画出干涉条纹,如下

则条纹的叠加的考虑:
- 光强 I
单一的条纹存在光强 I 为 0的点,

而上图的叠加,为在其中一条处于暗条纹,而另一条纹为亮条纹的叠加。则会出现如下结果,整体光强上移,如下图

- 对比度
总结归纳为叠加之后的对比度更小,叠加前对比度较大(对比度:最值的差值大小)。甚至还会出现对比为很小的状况,如下图

- 衬比度 γ

采用这样的定义式的目的:
- 取值范围: 0~1
- 无对比度时,取值为0;对比度最鲜明取值为1

### 两点点光源
#### 光强 I 的叠加
一点光源处于中心对称位置,另一点光源向上方偏移;由偏移于条纹的定性关系,可知,条纹下移
- 定性判断

分别会出两点点光源的 x-I 画像,则叠加图形亦可得

当两点在光波处于反向时,其叠加之后为一定值

- 定量计算
对称位置的光强为 I 时,计算反向光波的叠加

则偏移后的光强 I‘ 为

叠加之后的取值为


#### 两相位反向的点光源的叠加
偏移的差值为(其中Δx为两明/暗条纹的间距)

由此可计算出,相位相反的点光源的位置关系
### 连续光源的叠加
#### 对称的线光源
由对称点像两边延申的点光源,其图像
- 先绘出对称的光源的 x-I (位置-光强)图像
- 再分别绘出两端的点光源的图像

可得

多个条纹叠加定性判断:
- 暗部:由相位相反叠加(即相对对称为的偏移量为1/2Δx),可知,此时条纹处于最暗
- 亮部:而于对称的点光源的相位差较小的,其为逐渐像对称中心逐渐变亮,直至对称点光源条纹为最亮
- 平面分布:光波函数具有周期性,因此在二维条纹上其为线性条纹的等距平移的叠加,最终为“对角线状分布”
多个条纹叠加分析
- 光源宽度
取特殊点分析
处于最暗点的点光源

则两最暗点光源对应的对应点的偏移距 δs 为
其中:双孔间距d、双孔屏间距 D 与 光源和双孔距 R

而此可求出宽度 b0
光宽度的应用
- 双棱镜干涉实验中的钠光源,当钠线性光源较小时,可见明显的干涉条纹(衬比度较大)

### 光场的空间相关性
如下当宽度 b 值一定,双孔间距 d 与 光源与双孔距 R可变

可得

#### 相干范围
可做出符合的双孔间距d与光源双孔距 R的满足预取,如下图(为阴影部分,ps: 算是阴影部分吧,2333)

则该阴影区域称为相干范围

#### 相干范围张角


上式需要左近似处理,双孔间距 d 远小于 光源双孔距 R,亦可得相干范围的张角(即孔径角θ)

#### 相干长度
相干长度:两点光源在一定的光源双孔距下,相干的范围长度

# 章节小结
薄膜干涉的等厚条纹

# 薄膜干涉
薄膜干涉的情况
- 在薄膜截面上发生反射与干涉,再对反射光与折射光汇聚所形成的干涉

- 光再两个不同的点的反射与折射,后再同一点汇聚,产生的干涉

整体需要再拨码干涉中需要探讨的内容

注意:在实际过程中,同时存在等厚条纹和等倾条纹
## 等厚条纹与等倾条纹的区别
- 干涉位置:等厚干涉在薄膜表面;等倾条纹需要光线汇聚之后才呈现

# 等厚干涉
【思路】光程差、相位差 => 几何关系 => 条纹形状,一些物理量的值(等距条纹的间距大小、同心圆条纹的半径)
## 等厚条纹的光程差

可求得经过折射在反射中多行进距离为

假设:光源距离薄膜表面远大于薄膜厚度,张角很小,因此折射点到反射光路的投影距与光源距折射点长度相等
在折射光路再反射与薄膜表面构成的封闭三角形中有

由垂直关系可得光程差 ΔL 为

有折射定律整理得


其中h 为薄膜厚度
## 半波损失
皆有力学得性质,给出一些结论
- 当末端为固定端,相位改变 Π
- 当末端为自由端,相位不改变
在光学上,反射时

结论如下
- 光疏介质到光密介质,发生半波损失
- 光密介质到光疏介质,不发生半波损失

### 半波损失的发生条件
- 在反射时
- 从光疏介质到光密介质
### 相位差的产生方式
- 光程差
- 半波损失
在两束光的半波损失对叠加的影响
- 两者都不发生半波损失,叠加不需考虑半波损失的影响
- 两者都发生半波损失,叠加不需考虑半波损失的影响
- 仅有其中一束光线发生半波损失,叠加需要考虑半波损失的影响

### 两光束的半波损失
半波损失的发生情况条件
- n1 > n > n2,都不发生
- n1 < n < n2 都不发生
- 其他情况,其中一束光线发生半波损失


此时需要考虑相位的变化

也有另一种看法,将半波损失当成附加光程差λ/2【up主推荐使用该方式】

## 条纹状况

亮纹需要满足的条件

注意区分整体光程差ΔL' 还是 表观光程差 ΔL

### 亮条纹分析



上式中项(-λ/2)是否存在取决于是否有半波损失,有半波损失则存在该项
### 暗条纹分析

## 薄膜厚度对干涉的影响
控制倾角 i 不变
当倾角 i = 0°时, cos i = 1

在倾角 i = 0°条件下,可得总体光程差 ΔL'

当厚度 h 不均匀时

应用:由薄膜干涉判断物体表面的平整度
## 模型一:空气劈

注意:上图的“薄”是指:倾斜薄膜很波,以致于可忽略光线在其上发生的折射;“小”是指:倾角 α 很小
### 求解总体光程差 ΔL'
由半波损失的性质可知光线在向上往下传播过程中
- 上方倾斜面发生的反射(光密介质到光疏介质)不出现半波损失
- 下半面发生反射(光疏介质到光密介质)发生半波损失
因此总体光程差ΔL' 为

亮条纹


暗条纹:

厚度差值 Δh

注意:这只是厚度的差值,并不是条纹间距
原因如下:

可得条纹间距Δs为

### 倾角α 与 条纹间距Δs的关系

### 平整度检查

则通过条纹的光差可知,不平整的地方条纹不连续
- 平面凸起 => 光程差变化迟滞一点,进而干涉条纹向右弯曲
- 平面凹陷 => 光程差超前一点,进而干涉条纹向左边弯曲

### 求出倾斜角α


求出倾斜角 α 的作用如:测量物体的直径

其中R可通过计算计算条纹的数量求出
### 空气劈的偏移量
倾斜面产生偏移之后会产生什么影响?

其中N为条纹移动的数量,δh为倾斜面的偏移量;D为条纹间距的移动距离,Δs为条纹间距
#### 应用:膨胀计

## 模型二:牛顿环

可知从俯视图观看可得到一个同心圆的干涉条纹
条纹信息求解:
- 条状条纹求解条纹间距 Δs
- 同心圆干涉条纹求解条纹半径 r
### 求解条纹半径 R
已知表观光程差 ΔL 为 2h
考虑是否存在半波损失,其会产生半波损失

总光程差 ΔL'

利用几何关系式,将含有h的向转化成条纹半径 r 的项

略去二阶小量o(h^2),可转化 h 为条纹半径 r

则条纹半径的表达式,可得

亮/暗条纹

由此表达式,可知条纹的分布特性
越往外条纹就越密

在中心部分需要考虑半波损失,因此处于暗条纹
### 条纹分布特性
对于暗条纹的半径的递推式

半径的平方差为差值为恒定值,并由此可得曲率半径 R

### 不同视角光差牛顿环的条纹分布
从下方往上方观察也能看到同心圆分布的干涉条纹,其为从反射光变为透射光

半波损失:
- 第一次:光路透过圆弧镜面,经过空气到底座反射,发生半波损失
- 第二次:光束在底座反射到圆弧镜面在反射,发生半波损失
因而总光程 ΔL'不需要考虑半波损失,这透镜光(当前的牛顿干涉仰视)与反射光(牛顿干涉俯视)形成干涉的不同

#### 仰视干涉条纹分布特性
透视(仰视)干涉条纹与反射(俯视)干涉条纹互补
透射的亮暗表达式与下图相反

反射的中心为暗点,透射中心为亮点,条纹互补(在反射中的暗条纹,而在透射中就是两条纹)

## 总结两模型(空气劈、牛顿环)
关键在于求出光程差,考虑半波损失,然后分析条纹状况
例如
- 在牛顿环的波连环的中间加入不同的介质

- 两个透镜组成的牛顿环

近似的问题:能近似的需要考虑近似
注意:光路没经过介质截面时都会产生反射和这时,只是此时每次分光都会变弱,因此在此不考虑多次折射反射的情况

薄膜干涉的等倾斜条纹

# 薄膜干涉

在等厚干涉中,入射角 i 为一个定量

其中 i 为薄膜内部的折射角,n为mono内部的折射率,厚度 h
考虑在厚度 h 不变的前提下的状况
- 使用透镜汇聚平行的反射光

由物象的等光程性,可知在凸透镜至光屏的光程相等
计算光程差ΔL


等厚干涉一样

在等倾干涉中

注意:在等倾干涉公式中的 i 为折射角
## 多光路发生等倾干涉

汇聚到同一光屏上

### 干涉条纹的定性分析(形状)
光屏的干涉条纹的分布为关于光源旋转对称(中心对称)

可知在光屏上的为同心圆分布

### 干涉条纹的定量分析(条纹半径)
- 求解干涉条纹的半径 r_k

可知第 k 级别的半径 r_k 正比于 第 k 级反射角 i_k

由光程差ΔL'(注意式子中的 i 为介质内部的折射角而非入射角)
- 亮条纹:

- 暗条纹

半波损失判断需要根据折射率判断
### 干涉条纹间距

利用导数的定义将其线性化

可得


最终可得

条纹间距的特点:干涉半径 r_m 逐级递减

在中心位置的干涉条纹为干涉级数最高,越边缘的干涉条纹为越低级的条纹
- 最高级条纹:中心位置

- 最小级(0级条纹):处于无限远处

### 一个问题
既然存在最大级数的条纹,为什么0级条纹会在无线远处?

# 增反/增透
## 透射与反射
透射于反射的干涉

在等倾干涉中的透射反射的干涉

### 例子:透射与反射

在左侧的反射与透射的反射的干涉中
半波损失都发生,则不计算半波损失在光程差的影响

对于右侧的透镜于透射的反射的干涉中
存在单个发生半波损失,因而总光程差ΔL'需要考虑半波损失的影响


两干涉条纹互补,增反则为
- 反射:亮条纹
- 透射:暗条纹

两干涉条纹互补,增透则为
- 透射:亮条纹
- 反射:暗条纹

## 增透于增反的关系
- 增:只是使得透射于反射的分配能耗
- 未改变总能量,未改变能量的分配,仅改变利用能量的多少
### 调整透射反射的能量分配
- 消反射:使得反射光的能量最小,增加透射光

注意:在摄像机的镜头显示蓝色,对黄、绿等波长的光波由增透作用,蓝紫光等波长较小的光增反
# 章节小结
例题补充2(薄膜干涉)
# 例题1:牛顿环问题
已知条件如下,求解透射光条纹半径

## 求解透射光总光程差ΔL‘


### 求出表观光程差ΔL

### 半波损失
无半波损失
总光程差ΔL'为

## 干涉条纹分析
亮暗干涉条纹表达式如下

# 例题2:空气劈的问题
块规校准弓箭的平整度


## 求解高度差值
所求为G1于G2的高度差

思路:求解倾斜角α,则高度差为 lα

求解倾斜角α

可得结果为

## 干涉条纹间距不一致
说明Δx不一致

则说明表面不平行

## 如何判断G1与G2的相对高度
在G1与G2的中间按一按,将可得

将会出现两边的倾斜角不同,更高的倾斜角将变大,而更矮的倾斜角变小

由下式,可知倾斜角α与条纹间距Δx的关系

则可知,矮处条纹将变稀疏,高处条纹变密集

# 例题3:干涉的膨胀性问题
测量热膨胀系数

## 热膨胀系数的定义


## 实验求解热膨胀系数α2
原长 l_0 = 1 cm,温度变换 ΔT = 100 °C,条纹移动条数 N = 20,波长λ = 589.3 nm,石英环的热膨胀系数 α1 = 3.5*10^-7 /K

由空气劈模型可得

由热膨胀系数公式,可得


### 热膨胀系数大小判断
- 若条纹的左移动则说明待测物体的热膨胀系数α2 小于 石英环的热膨胀系数α1
- 若条纹的右移动则说明待测物体的热膨胀系数α2 大于 石英环的热膨胀系数α1

# 章节小结