Scratch与数学的整合11

                        第11课    二项式定理初步

一、课程目标

        了解乘方的概念、（a+b）*n（a，b，n均为正整数）条件下求展开式的项数、最高次次数、次数，并根据这些概念初步学会使用自定义积木、利用自定义积木实现简单的Scratch编程。

二、知识储备

        1、将一个数连续相乘，这个运算过程就是乘方运算。例如：a×a×a×……×a（10个a）=a^10，读作：10个a相乘，得到的结果是a的10次方，其中a是底数，10是指数（换字母n表示），得到的结果叫做幂。

        2、（a+b）^n叫二项式，求得的结果的项数叫二项展开式的项数，次数最高的那项系数叫最高次系数，该项的指数就是（a+b）^n的次数。

三、探究新知

        1、证明：（a+b）²=a²+2ab+b²。

        很明显，这是一个完全平方公式。那它是怎么来的呢？是直接猜出来的吗？什么问题都不能随便猜，我们必须心中有思路。它有两种证明方法：几何法、代数法。

        我们先来看几何法。我们知道正方形的面积=边长²，a+b表示a与b的和，那我们就把正方形的每条边分成边长为a，b的两部分。此时正方形被分成2个不等的小正方形和2个长方形，即a²，b²，2个ab，它们均表示每个小图形的面积。

Sa²+S2ab+Sb²=S正（a+b）。得证（如图1所示）

         我们再来看代数法：（a+b）²代表2个a+b相乘，即（a+b）（a+b），将左边的a与b分别与右边的（a+b）相乘，得a（a+b）+b（a+b），接下来用单项式乘多项式的法则继续去算，下一步得到a²+ab+ab+b²，化简得a²+2ab+b²。得证。

        2、求（a+b）^n的项数、最高次系数、次数。

        我们先来看（a+b）^n的项数。这是一道二项式定理的题目，如果按正规的方法，套通项公式T（n+1）=C（0，n）a^n+C（1，n）a^（n-1）b+……+C（r，n）a（n-r）+……+C（n，n）b^n（C（b，n）表示从n个不同元素中取出0个组合）分析起来会非常复杂，编写Scratch时也很可能无从下手。即便你是高中生，你也有可能会做相关的题目，但不一定能让Scratch它程序自己去解。那我们不妨将乘方的概念与多项式乘法的运算法则相结合来找规律。

如图2所示，第一行只有1，到第二行被分成{1，1}两边为1，再到第三行时，两边为1，中间合成1+1=2，合在一起就是{1，2，1}，到第四行同理两边都是1，中间2个都是3，共4个数：{1，3，3，1}，同理到第五行，两边仍为1，再往里是2个4，最中间是第4行中间的2个3相加得6，也就是{1，4，6，4，1}。以此类推，我们发现，若考虑每行每个数的位置，都是两边为1，中间任何数都是由上行两个数相加得来，最中间的数最大。另外第几行就有多少个数。如果我们用n表示图中的第几行（如图2所示），a+b的展开式表示图中所有数的组合。那我们就可以得出：（a+b）^n的项数为n，最高次系数为n+1，次数也是n+1。

        3、Scratch自定义积木用法简介：

        （1）打开软件，在首项积木栏找到“自制积木”并点击，此时弹出自制积木代码区，再次点击“制作的积木”（如图3所示）。

        （2）接着可以输入“积木名称”“增加布尔值”“文本标签（如图4所示）”。

        （3）最后点击完成，就可以在软件界面上看到自制积木了（如图5所示）。

 四、变量信息

        二项式的底数、二项式的指数、二项式的结果、二项式的项数、二项式的最大项

五、流程图与代码

        如图6所示：程序开始。建立变量：二项式的系数、二项式的指数、二项式的结果、二项式的项数、二项式的最大项。并把二项式的底数、二项式的指数拖到代码区并把积木里面要输入的内容都清空。然后对二项式的底数、二项式的指数询问并回答。在此之前要自制新的积木（名称见图7），该积木与自定义积木的每

一项文本词要一致，也就是下面三步：自制二项式运算积木→输入向内的文本用变量代替→自定义。定义××积木不能套进其它任何积木里，∴这两种积木分开。再下一步将二项式的初始结果设为1，∵2^0=1，而乘方是多个数相乘，∴接下来重复执行指数次，实现（a+b）^n的结果后系统求出二项式的最大项、二项式的系数。下面的代码也同样道理：

         上面一组：

当绿旗被点击

将二项式的结果设为        

将二项式的指数设为        

将二项式的结果设为        

询问请输入二项式的底数

将二项式的底数设为回答

询问请输入二项式的指数

将二项式的指数设为回答

二项式运算  [二项式底数]  （二项式底数 ） [二项式指数]（二项式指数）

         下面一组：

定义      二项式运算  [二项式底数]  （二项式底数 ） [二项式指数]（二项式指数）

将二项式的结果设为1

重复执行二项式次数次

将二项式的结果设为：二项式的结果×二项式的结果

说：“连接连接连接二项式的结果是和二项式的结果和二项式的最大项是和二项式的指数” 

                   六、课程最后说   

        1、∵乘方是多个数连续相乘，是四则运算的推广，Scratch里只有四则运算积木，这样几次方就要拿出多少个乘法积木连套在一起，里面都输入相同的数。万一数字很大怎么办？这就是Scratch烦人的一个地方。

        2、∵程序是一个整体，∴程序无法实现两个乘方，∵你前面点击一个定义之后，系统会实现前一组代码，即前面第一个乘方，到第二个式子时必然会报错，∵下面一个式子的乘方与第一组代码结构一样，只是变量名不一样，当你点了第二个绿旗后，人家知道你执行的结果是从第一组定义来的还是从第二组定义来的？例如我们能算出2²×3²=（2×3）²=36，但换成Scratch则会第一步求得4，第二步变成NaN。